三角函数中倍角公式是怎么推导出来的？

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n倍角公式：根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ。

将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

三角函数的倍角公式包括了二倍角、三倍角等，不同的倍角公式呈现的内容也都不同。

n倍角公式是从三角函数的2倍角公式、3倍角公式演化而来的。它在很多数学问题上，都有重要的应用。

棣莫弗定理和n倍角：

棣弗莫公式

设两个 复数 （用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则：

Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]。

证：先讲一下 复数 的三角形式的概念。在 复平面 C上，用向量 Z (a,b）来表示Z=a+bi。于是，该向量可以分成两个在实轴，

虚轴上的分向量.如果向量 Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）。

所以， 复数 Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）。这里θ称为 复数 Z的辐角。

因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以

Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]

=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]

实际上由欧拉恒等式：e^ix  = cosx + isinx，就可以得到上面的式子。

其实该定理可以推广为一般形式：

设n个 复数 Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].

实际上可以用棣弗莫公式来理解欧拉公式。

由棣弗莫公式可以得到：

cos[ nx)+i sin[nx)=( Cos x+i sin x)*

将其二项式展开即可得到n倍角公式