求解一道运筹学的线性规划问题模型的建立

Question

某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为2.1元/人日，秋冬季收入为1.8元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季100人日，春夏季为50人日，年净收入400元/每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季需0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入为2元/每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。三种作物每年需要的人工及收入情况如表所示。试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。

大 豆 玉 米 麦 子
秋冬季需人日数 20 35 10
春夏季需人日数 50 75 40
年净收入（元/公顷） 175 300 120

不胜感激~越快越好~

Answer 1

设大豆、玉米、麦子各所需土地x1、x2、x3（公顷），牛和鸡各饲养x4和x5（只），根据题意可以列出下表：

  见下图点击可以放大。

目标函数 Max z=175*x1+300*x2+120*x3+400*x4+2*x5;

满足条件 x1+x2+x3+1.5*x4<=100;

400*x4+3*x5<=15000;

20*x1+35*x2+10*x3+100*x4+0.6*x5<=3500;

50*x1+75*x2+40*x3+50*x4+0.3*x5<=4000;

x4<=32;

x5<=3000;

x1,……,x5>=0 

Lingo程序：

max=175*x1+300*x2+120*x3+400*x4+2*x5;

x1+x2+x3+1.5*x4<=100;

400*x4+3*x5<=15000;

20*x1+35*x2+10*x3+100*x4+0.6*x5<=3500;

50*x1+75*x2+40*x3+50*x4+0.3*x5<=4000;

x4<=32;

x5<=3000;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);

End

结果如下：

  Global optimal solution found at iteration:            29

  Objective value:                                 20216.00

                       Variable           Value        Reduced Cost

                             X1        0.000000           -175.0000

                             X2        39.00000           -300.0000

                             X3        0.000000           -120.0000

                             X4        21.00000           -400.0000

                             X5        58.00000           -2.000000

                            Row    Slack or Surplus      Dual Price

                              1        20216.00            1.000000

                              2        29.50000            0.000000

                              3        6426.000            0.000000

                              4       0.2000000            0.000000

                              5        7.600000            0.000000

                              6        11.00000            0.000000

                              7        2942.000            0.000000

综合程序计算结果可以得：

玉米耕种了39公顷，奶牛养了21头，鸡养了58只，并不种植大豆和麦子。由此可以计算出春夏两季多余的劳动力为7人，经计算他们的年净收入为 2690；而秋冬两季并没有多余劳动力。所以该农场的年净收入为 22906。