如何用直尺与圆规在圆中作正五边形

Answer 1

思路：
若已知圆内接五边形画法，则再作圆周角平分线就得到剩下的顶点。
不借助五边形，可由勾股定理或三角函数算出正十边形边长和圆半径关系，然后以半径为单位长，做出这个边长来。在圆上截十段即可。
事实上，这就是用尺轨在做代数问题。
另外，画五边形也不见得更容易，方法是一致的。

十边形边长a可以构造相似三角形用勾股定理计算（我认为比较好)。
也可使用余弦定理：
r^2 + r^2 - 2 * r * r * Cos36° = a^2
所以
a = r * √(2 - 2 * Cos36°)
不过这里Cos36°需要用一些技巧计算出来根式形式。
也就是用三角恒等变形把Cos36°写成方程，再解出方程的根。
我省略计算过程，结果a是个熟悉的数：黄金分割比。
a = r * (√5 - 1) / 2

好了，只要作一个直角边长为r/2和r的直角三角形，斜边长就是r * √5 / 2。再截去r / 2即可。于是我们就作出了十边形边长，十边形随之就得到了

Answer 2

尺规作正五边形步骤如下：
1）作线段XY，使XY=a;
2) 以线段XY为直径作圆O；
3）在此圆中再作一直径AZ，使AZ垂直于XY；
3）以半径OY的中点M为圆心，以MA为半径作弧交线段XY于点N；
4）连结NA。
则线段NA即该圆的内接正五边形边长。