已知f(x)=a^x-1/a^x(a>1，X属于R) (1)判断并证明f(x)的奇偶性与单调性。

Question

已知f(x)=a^x-1/a^x(a>1，X属于R) (1)判断并证明f(x)的奇偶性与单调性。 （2）若f(-2x^2+3x)+f(m-x-x^2)>0对任意的X属于【0，1】均成立，求m的取值范围。

Answer 1

1）求f(-x)
是等于f(x)还是等于-f(x)从而判断奇偶性。本题中因为1/a^x=a^(-x),所以原式可以化为
f(x)=a^x-1/a^x
=a^x
-
a^(-x)
显然有f(-x)
=-f(x)，所以f(x)为奇函数。
根据f(x)的一阶导数判断单调性。本题中，f‘(x)=lna*a^x
-
lna*a^(-x)*(-1)=lna*a^x+lna*a^(-x);由于a>1,所以f‘(x)>0,因此f(x)为单调增函数。
2）因为f(x)为奇函数-f(x)
=
f(-x)。所以-f(m-x-x^2)
=
f(-(m-x-x^2))
=
f(x^2-x-m).
原不等式可以化为f(-2x^2+3x)>
-f(m-x-x^2)
=
f(x^2-x-m).
又因为
f(x)为单调增函数，此不等式成立的充分必要条件是-2x^2+3x
>
x^2-x-m.
再根据x属于【0，1】此不等式均成立，从而求解该不等式。
即：对于xx属于【0，1】，不等式3x^2-4x-m<0.求m的范围。
这个你就自己求吧，不难的。