数理统计第九讲（矩估计性质，估计方程，似然估计原理，似然函数）

Answer 1

矩法估计的讨论包括多个例子和理论定理。首先，说明矩法估计量并非唯一，以泊松分布为例，利用总体一阶原点矩或二阶中心距求参数估计，会得到不同的结果。实际应用中，一般选择低阶矩以简化计算。

其次，解释矩法估计的第一步可以省略。以正态分布为例，直接从代估参数出发推导待估参数关于总体矩的表达式，从而省去写出总体矩的步骤。

再者，指出写总体矩的个数不一定等于参数个数。以特定分布列为例，发现只写一个矩无法求出参数的表达式，因此尝试多写几个矩以解决问题。

接着，介绍矩法估计的相合性。定理1指出如果总体阶矩存在，则矩法估计为强相合估计；定理2说明当估计量为连续函数时，若原估计为强相合，则新估计也为强相合。

继续讨论矩法估计的渐进正态性。定理3与定理4解释了当总体阶矩存在时，矩法估计量渐进正态性的条件与结果。

对于矩估计的推广，引入估计方程的概念，通过建立函数与参数的关系并利用经验分布函数来求解参数估计值。以特定密度函数为例，找到满足期望为0的函数，从而得到参数的估计。

总结矩法估计，指出其前提条件和优势。尽管有缺点，但矩法估计在实际应用中仍具有重要价值。

极大似然估计（MLE）基于概率大的事件容易发生的原则。以球的抽样为例，通过最大化样本发生的概率来估计参数。似然函数定义为样本观测值下的参数概率，极大似然估计通过选择最大似然值的参数实现。

对于离散情形，似然函数直接表示样本概率；对于连续情形，则是联合密度函数。对数似然函数是似然函数的对数形式，简化求解过程。极大似然估计的核心在于选取使得样本发生的概率最大的参数值。