如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．（I）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥D-PEF的体积．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）连接BD，在△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC…2′
又PB⊥平面ABC，而AC?平面ABC，
∴PB⊥AC，又因为BD，PB?平面PBD且BD∩PB=B，
∴AC⊥平面PBD…4′
又∵PD?平面PBD，
∴AC⊥PD，
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∴EF⊥PD…6′
（Ⅱ）解：由题有，PB⊥平面DEF，又∠PAB=45°，故PB=2…8′
而V_D-PEF=V_P-DEF…10′
∵四边形BEDF为正方形，|BE|=|ED|=1，
∴V_P-DEF=

1

3

?S_△DEF?|PB|=

1

3

×

1

2

×1×1×2=

1

3

∴V_D-PEF=

1

3

…12′