sinx/x在0到π/2上的积分，跟1比谁大？

Question

最好写出具体思路，谢谢

Answer 1

1大。

比较函数y=sinx与y=x的大小，利用熟悉的函数图看。

看函数y=sinx在函数图形y=x的上方还是下方，实际上可得：函数y=sinx在函数图形y=x下方，故而：sinx/x<1。

因而：积分小于1。

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

因为sinx/x在0到π/2上单调递增 是所以sinx/x<2/π

sinx/x在0到π/2上的积分<2/π在0到π/2上的积分=1

Answer 3

本题可用比较法解决：比较函数y=sinx与y=x的大小，利用熟悉的函数图看

看函数y=sinx在函数图形y=x的上方还是下方，实际上可得：函数y=sinx在函数图形y=x下方，故而：sinx/x<1

因而：积分小于1

Answer 4

∫[0,π/2]Sin[x]/x dx
=1.37076216815449 (数值解)
∫[0,π/2]Sin[x]/x dx
= ∫[0,π/2] (1 - x^2/6 + x^4/120 - x^6/5040 + x^8/362880 - ...)dx
所以:
∫[0,π/2] (1 - x^2/6)dx≤∫[0,π/2]Sin[x]/x dx ≤ ∫[0,π/2] (1 - x^2/6 + x^4/120)dx
所以:
π/2 - π^3 /144 ≤∫[0,π/2]Sin[x]/x dx ≤ π/2 - π^3/144 + π^5/19200
数值解:
1.35547 ≤∫[0,π/2]Sin[x]/x dx ≤ 1.37141
所以:
1 ≤∫[0,π/2]Sin[x]/x dx

Answer 5

我学高数若干年了，这里给个思路。建议用台老展开式子计算。