为什么limx→0(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}中ln(1+x)为什么不能直接等价替换成x，高数求极限

Question

问题1.为什么不能用重要极限算(1+x)^2/x问题2.(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}中ln(1+x)为什么不能直接等价替换成x，x同样是趋于0啊。注：张宇题源1000题2020版第一章1.3

Answer 1

替换的条件是要满足limx→0 f(x)=0，就是要求分子或分母是在x→0时的无穷小。分子不满足条件，当然不能换。这个根据无穷大和无穷小的关系可知，极限不存在，为∞。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

为什么limx→0(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}中ln(1+x)为什么不能直接等价替换成x，
高数求极限
具体说明如图所示

追问

怎么不存在呢？整体算完结果是e^2啊

Answer 3

这里实际上要点在于等价无穷小的阶次如何确定
通常情况下，分子中使用泰勒展开式，或者其他无穷小来替换时要特别注意保留的阶次
分母是一阶无穷小，那么分子中的每一项展开式至少要保留到二阶无穷小量进行运算
如果直接使用重要极限，实际上只是保留一阶无穷小量，因此容易出现计算错误
你可以尝试使用泰勒展开式，将分子的每一部分展开到4阶来帮助理解
这种题目，不深究的话就是洛必达法则暴力求解

Answer 4

问题1、(1+x)^(2/x) 极限确实是 e^2，但整个式子还有其它部分，不能只对局部求极限。
问题2、解答中第三行前一等号处，第二项正是利用了 ln(1+x) = x 求的极限。
而第一项也可以利用 ln(1+x) = x - x^2/2 快速得到答案。

追问

谢谢，我的意思是(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}=?是否等于e^2,为什么不等？

追答

(1+x)^(2/x) 极限确实是 e^2，
但是由于分子还有其它项，不能单独求此极限，要整体通盘考虑。

追问

是的，那为什么不能单独求此极限然后再相加呢？极限四则运算满足啊。

追答

照你说的，任何极限都可以是 0。你看 x→0，
f(x)＝x * [f(x)/x]
→0 * [f(x)/x]＝0.

Answer 5

真的是好好笑哦，你居然告诉我说满足极限的四则运算法则？
首先，我们看你想单独求分子第一项的极限，原因是什么。你是不是觉得分子整体极限存在，所以根据差的极限等于极限的差，先把第一项求出来？
那么我再问你，现在题目要你求的是分式的极限，你求分子极限是为什么呢？说明你潜意识里面已经想利用商的极限等于极限的商这条性质。但这条限制的前提条件在于分母极限不能是零，你想要用这条性质，你得满足这个条件。可是你看这道题，分母极限是零，对不对？那你为什么要去单独算分子极限？

追答

原来遇到了一个既不看书，说话也不经过大脑，甚至没有真凭实据只会信口开河的蠢0。居然有脸说分母极限是零，仍然可以拆开算，有点常识好伐。