设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1/a

Question

1,当x属于(0,x1)时，证明x<f(x)<x12,设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明；x0<x1/2

Answer 1

画出图像得f(x)＞x在（0，x1)上显然成立，由题意知f(1/a)＞0,0＜(1-b)/2a＜1／a,f(0)＞0,解之b/a+c＞0,-1＜b＜1,c＞0，由题意知x0=-b/2a,即证x1＞-b/a,又因为x1=(1-b-根号下b-1的平方减4ac)/2a,联立两方程的b+ac＞0,显然成立，所以2得证，再证f(x)＜x1①当-1＜b≤0时，f(x)-x1在x=x1处取得最大值，即证f(x1)-x1≤0,显然成立②当0＜b＜1时，f(x)-x1在x=x1处取得最大值，即证f(x1)-x1≤0,显然成立综上f(x)＜x1得证

Answer 2

f(x)-x=ax�0�5+bx+c-x
因为x1，x2是方程f(x)-x=0的两根
所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时，x-x1<0，x-x2<0，且a>0
所以a(x-x1)(x-x2)>0，f(x)-x>0，f(x)>x
因为f(x)-x1
=a(x-x1)(x-x2)+x-x1
=(x-x1)[a(x-x2)+1]
=(1/a)(x-x1)[x-x2+1/a]
=(1/a)(x-x1)[(1/a-x2)+x]
<0
所以f(x)<x1
即当x∈(0,x1)时，x<f(x)<x1

f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x
=a[x�0�5-(x1+x2)x+x1x2]+x
=ax�0�5-[a(x1+x2)x-1]x+ax1x2
设m,n是f(x)=0的两个根，因为x=x0是f(x)的对称轴
所以(m+n)/2=x0，m+n=2x0
又由韦达定理得
m+n
=[a(x1+x2)-1]/a
=(x1+x2)-1/a
=x1-(1/a-x2)
因为1/a>x2，所以1/a-x2>0
所以m+n<x1
即2x0<x1，x0<x1/2

Answer 3

1、开口向上a>0，a有3个选择，且不经过原点，c≠0，只有3个选择，b剩下有3个选择 共3*3*3=27条2、x正负半轴都有交点，令y=0,方程ax²+bx+c=0有正负两根，c/a<0,a≠0，当a>0有3种选择，c只有一种选择，b有3种选择；当a<0只有一种选择，c有3种选择，b有3种选择共有3*1*3+1*3*3=18条3、 即方程ax^2+bx+c=0至少有一个负根，只要在2小题中再加上一个根在x负半轴上另一个也在负半轴或者等于0的情况，若另一个根为0，x=0时y=0即c=0.当a>0,-b/(2a)<0 b>0，有3*2六种，若另一个根也小于0，c/a>0,c>0,且要保证b^2-4ac>0,只有2种情况b=3,a=1,c=2(或a=2,c=1),共8种；当a<0,-b/(2a)<0,b<0这种情况不存在，所以共有18+8=26条

Answer 4

数学
家教QQ1016871819
f(x)-x=ax²+bx+c-x
因为x1，x2是方程f(x)-x=0的两根
所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时，x-x1<0，x-x2<0，且a>0
所以a(x-x1)(x-x2)>0，f(x)-x>0，f(x)>x
因为f(x)-x1
=a(x-x1)(x-x2)+x-x1
=(x-x1)[a(x-x2)+1]
=(1/a)(x-x1)[x-x2+1/a]
=(1/a)(x-x1)[(1/a-x2)+x]
<0
所以f(x)<x1
即当x∈(0,x1)时，x<f(x)<x1
f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x
=a[x²-(x1+x2)x+x1x2]+x
=ax²-[a(x1+x2)x-1]x+ax1x2
设m,n是f(x)=0的两个根，因为x=x0是f(x)的对称轴
所以(m+n)/2=x0，m+n=2x0
又由韦达定理得
m+n
=[a(x1+x2)-1]/a
=(x1+x2)-1/a
=x1-(1/a-x2)
因为1/a>x2，所以1/a-x2>0
所以m+n<x1
即2x0<x1，x0<x1/2