求和1^2+2^2+3^2+......+n^2

Question

求和1^2+2^2+3^2+......+n^2

Answer 1

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

另外一个很好玩的做法

想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/16560944.html

Answer 2

设1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n=S
则（1/2）S=1/2^2+2/2^3+...+n-1/2^n+n
/2^n+1
S-(1/2)S=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-n
/2^n+1=(1/2)S
前n项用等比数列的求和公式，再减去1/2^n+1.就是S的一半，最后乘以2就是了

Answer 3

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^1=3*1^2+3*1+1
都加起来，左边中间正负抵消
(n+1)^3-1^3=3*[n^2+(n-1)^2+……+1^2]+3*[n+(n-1)+……+1]+1*n
n+(n-1)+……+1=n(n+1)/2
所以n^3+3n^2+3n=3*[n^2+(n-1)^2+……+1^2]+3n(n+1)/2+n
n^2+(n-1)^2+……+1^2=[n^3+3n^2+3n-3n(n+1)/2-n]/3
=[n^3+3n^2+2n-3n(n+1)/2]/3
=[n(n+2)(n+1)-3n(n+1)/2]/3
=(n+1)[n(n+2)-3n/2]/3
=(n+1)(2n^2+4n-3n)/6
=(n+1)(2n^2+n)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

没有ls说的那么难，可以用(a+b)^3的展开式和1+2+...+n=n(n+1)/2证明n*(n+1)*(2*n+1)/6

Answer 5

n*(n+1)*(2*n+1)/6
计算过程涉及大学极限的东西了，