关于轮换式因式分解的一个小问题

Question

在此题目：分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以 原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c). 其中说由“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”，他是怎么由轮换对称性知这个一次因式是a+b+c的呢？谢谢。
也就是说，得出有这个(a-b)(b-c)(c-a)三次式后，还差一个一次式，怎么想到用(a+b+c)的呢？

Answer 1

轮换对称性可以这么理解：
还差一个一次式可以写成pa+qb+rc,其中p,q,r分别为a,b,c的系数，
这时候我们做一次轮换，令a->b,b->c，c->a,则原式不变，
另一个一次式为pb+qc+ra，
同理我们可以再做一次轮换，令a->c,b->a，c->b，则原式还是不变，
同样有另一个一次式为pc+qa+rb，
这三个一次式是等价的，于是我们得到p=q=r，
这时候我们就知道了另一个一次式是a+b+c。
祝学习进步

Answer 2

因式分解要验证因子，只有令因式=0，像解方程一样：解就是因式。
比如：因式分解x²-x+2
x²-x-2=0时，x=-1或2

所以(x+1),(x-2)都是因子，反过来的过程：
x=-1或2可使因式x²-x+2=0，也能说明(x+1),(x-2)都是因子

题中a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
明显b=c或c=a或a=b都使上式=0，所以(a-b) (b-c) (c-a)三式都是因子
要验证(a+b+c)是否是因式，
可令a=-(b+c)，代入原式计算：
a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)

=-(b+c)³(b-c)+b³c+b³(b+c)+c³(-b-c-b)
= -(b+c)³(b-c)+b³c+b³(b+c)-c³(b+c)-c³b
=(c-b) (b+c)³ +bc(b²-c²)+(b+c)(b³-c³)
=(c²-b²)(b+c)²+(b²-c²)(bc+b²+bc+c²)
=(c²-b²)(b+c)²+(b²-c²)(b+c)²
=0 验证正确。

由“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”我忘了时否有这样的说法，但上面的方法可能通用，不管原因式是否对称。

追问

知道(a-b) (b-c) (c-a)三式都是因式后，怎么想的要去验证验证(a+b+c)是否是因式的呢？

追答

“轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c”，真不记得了。

你就记住这一结论吧：“轮换对称式可能有一次因式a+b+c”

Answer 3

原来是四次齐次轮换多项式，
现已知有一个(a-b)(b-c)(c-a)三次齐次轮换因式
则还有一个关于a,b,c的一次齐次轮换因式
只有(a+b+c)是一次齐次轮换