高中排列组合问题

Question

如何做排列、组合综合问题
包括非均匀分组问题，非均匀定向分配问题，非均匀不定向分配问题，均匀不定向分配问题以及均匀分组问题

Answer 1

师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复 习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法．
先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!
生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要 注意做到“不重”与“不漏”．
师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法． 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可 以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．
解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．
（教师边讲，边板书）
互斥分类——分类法
先后有序——位置法
反面明了——排除法
相邻排列——捆绑法
分离排列——插空法
（二）举例
师：我下面我们来分析和解决一些例题．
（打出片子——例1）
例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人；
（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；
（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；
（4）分为甲、乙两组，每组6人；
（5）分为两组，每组6人；
（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；
（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；
（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；
（10）分为三组，每组4人．
（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解． 这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之 间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力）
师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）．
生：（1），（2），（3）都是 ；（4），（5）都是 ；（6），（7），（8） 都是 ；（9），（10）都是
师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握 了的．但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6）， （7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题．
（找班里水平较高的一位学生回答）
生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．（3）的答案是 ；（5）是 ；（8）是 （10）是
（教师在学生回答时板书各题答案）
师：回答的正确，请说出具体的分析．
生：（3）把12人分成甲、乙两组，一组7人，一组5人，但并没有指明甲、乙谁是7人，谁是5人，所以要考虑甲、乙的顺序，再乘以 ；（8）也是同一道理．（5）把12人分成两组， 每组6人，如果是分成甲组、乙组，那么共有 种不同分法，但是（5）只要求平均分成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲共P22个就是同一种分组了，所以（5）的答案是 ；（10）的道理相同．
师：分析的很好!我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的 ．如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这是解决排列、组 合题时要特别注意的．
例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配问题，虽然（1），（6）都没有指出 组名，而（2），（7）给出了组名，但是在非平均分配中是一样的．这是因为（2），（7）不仅给出了组名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（3），（8）有差异．（3），（8）给了组名却没有指明谁是几个人．
题中（4），（5），（9），（10）都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组 名，一定要除以组数的阶乘!
如果12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法种数．这里有不平均（一组2人），又有平均（两组都是是5人）．怎么办?
生：分两步完成．第一步：12个人中选2人的方法数C212；第二步：剩下的10个人平均分成两组，每组5人的方法数 ，根据乘法原理得到，共有 种不同的分法．
师：很好!大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，部分平均 分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．这样分配问题已彻底 解决了．
请看例题2．
（打出片子——例2）
（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
（教师读题、巡视）
师：请一位同学说出（1），（2）的答案．
生甲：N1＝ ；N2＝
师：完全正确!他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，组外排列为 ，女生组内排列为 ，得2女相邻排法数N1＝ ；（2）是用捆 绑法结合排除法来解得，从总体排列 中排除N1得2女不相邻的排法数N2＝ （教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法）
师：（2）的不相邻的分离排列还有没有其它解法?
生乙：可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有N2＝ 种不同排法．
（板书（1），（2）算式）
师：对于（2）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的．两种解法解决 分离问题是否都很方便呢?试想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相邻“ 与 一样吗?大家动手计算一下．
生：前者是36 000，后者是14 400，不一样，肯定有问题．
师： 是什么?
生：3女相邻．
师：3女相邻的反面是什么?
生： 是3女不都相邻，其中有2女相邻，不是3女都不相邻．
师：这一例题说明什么?
生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些．
师：请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，应该怎么 做?我们继续分析和解决（3），（4）两小题．
N3＝ ； N4＝ ．
（板书（3），（4）的算式）
师：非常正确!（4）吸取了（2）的教训，没有用 ，并且没有简单的用 插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现．
（板书）
（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题．这时同性不相邻必须男女都排好，即男奇数 位，女偶数位，或者对调．
（通过对例2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认 识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能力．）
师：我们再来看一个例题．
（打出片子——例3）
例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法?
（教师朗读一遍例3后巡视）
师：请同学说一下答案．
生：N＝ （板书此式）．
师：怎么分析的呢?
生：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来，有 种选法，然后考虑4人的排法，故乘以
师：选出的4名队员做全排列，那么（板书）男A男B、女A女B行吗?
生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢?
师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出2男2女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢?
（板书）男——男女
①Aa Bb
②Ab Ba
③Ba Ab
④Bb Aa
以上四种吗?
生：不是!③与②，④与①属于同一种，只有2种搭配，应该乘以2．
师：这就对了．N= ，还可以用下面的思路：先在8男中选2男各据一侧，是排列问题，有 种方法；再在7女中选2女与之搭配，是组合问题，有 种方法，一共有N= 种搭配方法．
（板书）
解法1：N=
解法2：N=
师：最后看例4
（打出片子——例4）
例4 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?
（教师读题，引导分析）
师：从7人中选4人分别安排第一、二、三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关， 对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了．先不考虑谁跑哪棒，就说4人的 选择有几类情况呢?
生：三类，第一类，没有甲乙，有 种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，有 种选 法；第三类，既有甲也有乙，有 种选法．
师：如果把上述三类选法数相加再乘以 行不行?
生：不行，对于上面三类不同选法，并不能都有P44种安排方法．考虑甲、乙二人都不跑中 间两棒，应有不同的安排方法数是：N= ．
师：第二项中的 是什么意思呢?
生：第二类中甲、乙两人只有1人选中时，甲（乙）的排法数量是 ，其他三人的排法数是 ．
师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和 方法．
（三）小结
我们通过对4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组 合综合题的解法．
解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则．
解题时一定要注意不重复、不遗漏．
（四）作业
1.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得1名，则不同的保送方案总数是 种．（ ）