向量叉乘的分配律如何证明？

Answer 1

三维向量外积（即矢积、叉积）可以用几何方法证明；也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>

我们假定已经知道了：a × b = - b × a

内积（即数积、点积）的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c；(a + b)·c = a·c + b·c

这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。

混合积的性质：定义(a×b)·c 为矢量a, b, c的混合积，容易证明：

(a×b)·c 的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。

从而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)

所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).

由i 还可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)

若一个矢量a 同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a 必为零矢量。

设r 为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用和数积分配律，就有 r·(a×(b + c)

= (r×a)·(b + c)

= (r×a)·b + (r×a)·c

= r·(a×b) + r·(a×c)

= r·(a×b + a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0

这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c) 垂直于任意一个矢量。按3) 的iv) ，这个矢量必为零矢量，即：a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0

所以有：a×(b + c) = a×b + a×c.

证毕。

向量积：数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

向量积可以被定义为：

 

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

拉格朗日公式，这是一个著名的公式，而且非常有用：

(a×b)×c=b(a·c) -a(b·c)

a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),