圆锥曲线焦点弦的性质有那些？

Question

要全面哦！

Answer 1

圆锥曲线
开放分类： 数学、几何、椭圆、双曲线、抛物线

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

·圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：
1）直线
参数方程：x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t为参数）
直角坐标：y=ax+b
2）圆
参数方程：x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ为参数 )
直角坐标：x^2+y^2=r^2 (r 为半径）
3）椭圆
参数方程：x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
4）双曲线
参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）
5）抛物线
参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)
直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )

圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e·cosθ)
其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

Answer 2

焦点弦长公式:
r=ep/(1-ecosθ），e是离心率，p是焦点到准线的距离,θ是与极轴的夹角，是极坐标中的表达式，根据e与1的大小关系分为椭圆，抛物线，双曲线。可以用第二定义证.

双曲线焦半径公式:
设双曲线为：(x/a)^2 -(y/b)^2 =1
焦点为F(c,0) ,准线为：x= ±a^2/c
设A(x ,y)是双曲线右支上的任一点
则A到准线的距离为：|x±a^2/c|=x±a^2/c
由双曲线的第二定义得： FA/|c±a^2/c| = e
所以 FA = e*(x ±a^2/c)= (c/a) *(x ±a^2/c) = ex ± a
椭圆焦半径：
F1为左焦点， F2为右焦点。（这个可以从增减性看出来，所以符号不用背啦）
|PF1|=a+ex0. |PF2|＝a-ex0．
即当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的左、右焦半径分别是
|PF1|=a+ey0，|PF2|=a－ey0

不好意思,其实我感觉上述已经差不多够了的.因为圆锥曲线其实考的和公式有直接联系的不多,反而要求学生对圆锥曲线各种性质的掌握.我做题的时候就不常用那些公式,那已经是我能回答出来的极限了,没能帮上忙很抱歉.

Answer 3

椭圆过右焦点的焦半径r=a-ex0
过左焦点的焦半径r=a+ex0
双曲线过右焦点的焦半径r=|ex0-a|
双曲线过左焦点的焦半径r=|ex0+a|
抛物线的焦半径r=x0+p/2