如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC.（1）求∠B:∠C的值

Question

（2）由(1)中,若将∠B:∠C=2:1与AB+BD=AC对换,成立吗？说明理由

Answer 1

解：
（1）延长AB到E，使得BE=BD，连接DE。
AE=AB+BE=AB+BD=AC
AD=AD
∠EAD=∠CAD
所以△EAD≌△CAD
对应角∠AED=∠ACD
BE=BD则∠BED=∠BDE
外角∠ABD=∠BED+∠BDE=2∠BED=2∠ACD
即∠B=2∠C
∠B:∠C=2

（2）在AC是取一点E，使得AE=AB，
由AD平分∠BAC，
∴△ABD≌△AED（S，A，S）
∴BD=ED。
由∠B=∠AFD=2∠C，（1）
∴∠B=∠EDC+∠C（2）
由（1）和（2)得：
∠EDC=∠C,∴DE=EC,
所以AB=AF，BD=DF=FC，
得AB+BD=AF+FC=AC。
证毕。

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Answer 2

1、解：在AC边上取点E，使AE＝AB，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AB＝AE，AD＝AD
∴△ABD≌△AED （SAS）
∴DE＝BD，∠AED＝∠B
∵AC＝AE+CE＝AB+CE，AC＝AB+BD
∴CE＝BD
∴CE＝DE
∴∠CDE＝∠C
∴∠AED＝∠C+∠CDE＝2∠C
∴∠B＝2∠C
∴∠B：∠C＝2：1
2、成立
证明：在AC边上取点E，使AE＝AB，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AB＝AE，AD＝AD
∴△ABD≌△AED （SAS）
∴DE＝BD，∠AED＝∠B
∵∠B：∠C＝2：1
∴∠B＝2∠C
∴∠AED＝2∠C
∵∠AED＝∠C+∠CDE
∴∠CDE＝∠C
∴CE＝DE
∴CE＝BD
∵AC＝AE+CE
∴AC＝AB+BD

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Answer 3

1 在AC上取点E，使AE=AB 连DE
得ABD全等于AED （SAS）
DE=BD 角B=角AED
又AB+BD=AC 所以
DE=CE CDE为等到腰三角形
角EDC=角C
角AED=角EDC+角C=2*角C
所以 角B：角C=2：1
2 反之 也成立
在AC上取点F 使角CDF=角C ，则CF=DF
角AFD=角CDF+角C=2*角C=角B
角BAD=角CAD 有角ADB=角ADF
ABD全等于AFD （ASA）
AB=AF BD=DF
又CF=DF
所以AC=AB+BD