已知f(x)=2x/（1+x^2）(x属于R),讨论函数f(x)的性质（单调性，奇偶性，定义域，值域，最值）

Answer 1

f(-x)=2(-x)/(1+(-x)^2)=-2x/(1+x^2)=-f(x)，所以，是奇函数于是，马上可以算出，f(0)=0，观其分母(1+x^2)>=1，可以保证分式有意义，所以定义域是R因为，(1+x^2)>=2x，所以，当x>0时，f(x)=2x/(1+x^2)<=1；当x<0时，f(x)=2x/(1+x^2)>=-1，所以值域-1<=f(x)<=1；当(1+x^2)=2x时，取最值，也就是，当x=1时，最大值f(x)=1；当x=-1时，最小值f(x)=-1；计算f(x)的导函数以判断f(x)的单调性，f'(x)=[2x/(1+x^2)]'=[2(1+x^2)-2x*2x]/[(1+x^2)^2]=2(1-x^2)/[(1+x^2)^2]，当-1<x<1时，f'(x)>0，f(x)是增函数；当x<-1或x>1时，f'(x)<0，f(x)是减函数

Answer 2

定义域：x∈R奇偶性：因为定义域关于原点对称，又f(-x)=-2x/(1+x^2)=-f(x)，故f(x)为奇函数求最值，单调性：先求导，f(x)'=2(1-x^2)/(1+x^2)^2 ， 令f(x)'=0得x=±1， 而当-1<x<1时，f(x)'>0 ，此时f(x)为增函数 当-∞<x<-1,1<x<+∞时f(x)'<0 ，此时f(x)分别在两个区间上为减函数 故f(-1)=-1为f(x)的极小值，f(1)=1为f(x)的极大值； 而x—>∞时，f(x)—>0 （由双钩函数可得） 所以f(x)max=f(1)=1,f(x)min=f(-1)=-1值域：f(x)∈[-1,1]