三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB

Question

(1)求B
（2）若b=2，求三角形A,B,C面积的最大值

Answer 1

解答：

（1）

利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC

∵ a=bcosC+csinB

∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB

∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)

∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB

∴ cosCsinB=sinCsinB

∴ tanB=1

∴ B=π/4

（2）

S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac

利用余弦定理

4=a²+c²-2ac*cos(π/4)

∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac

∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)

当且仅当a=c时等号成立

∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1

简介

三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

Answer 2

解答：
（1）
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4
（2）
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
利用余弦定理
4=a²+c²-2ac*cos(π/4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1

Answer 3

解答:解:由已知及正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
∵B为三角形的内角，
∴B=
π
4
;
故选B.