已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）

Question

已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

Answer 1

令y=0，则f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（x）为奇函数
所以当x<0时，f（x）=-f（-x）<0
当y>0时，f（x＋y）-f（x）=f（y）>0，此时f（x）为增函数
当y<0时，f（x＋y）-f（x）=f（y）<0，此时f（x）为增函数
所以f（x）为增函数
f（-2）=-4，f（1）=2
即值域为[-4,2]

Answer 2

令y=0，则f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（x）为奇函数
所以当x<0时，f（x）=-f（-x）<0
当y>0时，f（x＋y）-f（x）=f（y）>0，此时f（x）为增函数
当y<0时，f（x＋y）-f（x）=f（y）<0，此时f（x）为增函数
所以f（x）为增函数
f（-2）=-4，f（1）=2
即值域为[-4,2]

Answer 3

已知函数f(x)对任意x,y属于r
,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>o时，f(x)<0,且f(1)=-2
求f(x)在[-3，3]上的最值
(1)=f(0)+f(1)
∴f(0)=0
f(x)=f(x+y)-f(y)
令y=-x
则
f(x)=f(0)-f(-x)
f(x)=-f(-x)
∴f(x)是奇函数
接下来最值就很好求了
f(x)max=f(-3)=6
f(x)min=f(3)=-6

Answer 4

令x=y=0,得f(0)=0,又令y=-x，得f(-x)=-f(x)，所以此函数为奇函数
设x1,x2，且x1＞x2，则由题目意思：f(x1-x2)＞0
则：f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)＞0，所以此函数为单调递增函数
令x=y=-1，f(-2)=-4,又因为是奇函数，所以f(1)=-f(-1)=2,
所以此函数的值域为[-4,2]

Answer 5

令x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0；
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)，所以f(0)=f(x)+f(-x)所以f(x)为奇函数。
现在我们来证明该函数是否为单增或单减函数。
设x2>x1,则x2-x1>0，令x=x2，y=-x1，则f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)，又f(x)为奇函数，所以f(-x1)=-f(x1)，所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)，由题目，当x>0时，f(x)>0，所以f(x2-x1)>0,则f(x2)-f(x1)>0，所以函数为单调增函数。
又f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=-4,f(1)=-f(-1)=2，所以值域为[-4,2]