已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，

Question

已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，f(-1)=-2,求f(x)在[-2,1]上的值域

Answer 1

因为f(x+y)=f(x)+f(y)
令x，y都等于0，可以得到f(0)=0
令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，明显f(x)为通过原点的奇函数
令y=y-x，得f(y)=f(x)+f(y-x)，移项得f(y)-f(x)=f(y-x)，取y=a，x=b（a>b）可得f(a)-f(b)=f(a-b)，已知x>0，f(x)>0,而a-b>0,所以f(a)-f(b)=f(a-b)>0：即f（x）为增函数,即f(x)在[-2，1]单调递增， f(-2)=f(-1)+f(-1)=-4 f(1)=-f(-1)=2
所以值域为[-4,2]

Answer 2

值域求解方法可以分三大类：
1.数形结合法；
2.反解法（根据定义域求解不等式）；
3.简单函数性质（利用单调、奇偶、周期性），可以利用换元、配方等技巧转换为简单函数
步骤：1.由f(x+y)=f(x)+f(y)得奇偶性2.由且当x>0时，f(x)>0得单调性3.由f(-1)=-2确定边界