一个概率问题

Question

有一个纸盒子，底部被划分为N等分的小格子（例如分为9份）。向盒内滴墨水时，墨水将等几率落入某一格内。问：向盒子内滴入M滴墨水（M>N，例如30）后，盒内每个格子都有墨水的几率是多少？此时盒内正好每格都有墨水的几率是多少？
不对吧，假设M=50，N=10，几率居然大于1了。
而且你也没说给的是两个问题中哪个的答案。

首先，M=50，N=10时结果确实大于1，约等于1.027；举个方便计算的例子：M=5，N=2，结果等于2.5。

其次，两个问题显然不一样：前一个是滴1~M滴墨水时正好每个格子都有墨水的概率的总和；后者仅是当滴第M滴墨水时正好每个格子都有墨水的概率。

我们还是取较小的数值研究下吧：
例如M=4，N=3时，滴第4滴时正好都有的情况有，A,第1、2滴滴入同一格子，3、4滴分别滴入其他格子；B,第2滴滴入不同的格子，第3滴滴入1、2滴入的某个格子，第4滴滴入剩余的格子——几率就是1*1/3*2/3*1/3+1*2/3*2/3*1/3=2/27+4/27
第4滴时每个格子都有墨水的几率只要加上当第3滴时正好每个格子都有墨水的情况就可以了——1*1/3*2/3*1/3+1*2/3*2/3*1/3+1*2/3*1/3

不知道有没有高手能整理出公式来？

jiqingliang和1楼犯了同样的错误，自己的公式请先简单的验证一下，OK？

“向盒子内滴入M滴墨水（M>N，例如30）后”应该是有可能在滴M-1滴或M-n滴时所有格子有可能已经全部有墨水了——只要M-n>=N，我想是这样子的。

Answer 1

修改次数过多 不能改了
只能换号来说

一。首先 当m=n+1的时候，我的公式n!/n^n*（n+1)/2是正确的，不过我给写成n^2了，手误。
分析方法是： 首先考虑前n滴正好滴满，概率是n!/n^n 再考虑前n滴没有滴满，但是第n+1滴滴满的概率，这时第n+1滴按照我们的要求，填补了某一滴的空缺，刨去那个不负责任的一滴，滴满的概率还是n!/n^n。那么到底是第几滴没有按照我们的设想完成任务呢。我们逐个分析。
如果是最后一滴，也就是倒数第一滴没有完成任务，那么他可能去哪了？他可能去除开最后这个位置其他所有的位置，他不完成任务的概率就是n-1/n；如果是倒数第二滴，那他可能的位置只有n-2个，概率是n-2/n。类推到如果第二滴没有完成任务，他只能跟第一滴是重复的，概率是1/n。求和概率为n+1/2，也就得到了我们的结果。

二，但是考虑m>n+1时候时，这个方法变进入了一个无法用手算的情况。
假设m=n+2。根据上面的分析方法。n滴后全满概率是n!/n^n。
如果n滴后空缺一个位置，没有满，那么这个位置就要后面的2滴补充，他们能够补充的概率是1-(1-1/n)^2,然后我们再求是没完成这个任务，这m=n+1的情况就类似了。
再考虑如果现在空缺了2个位置。那么2个位置都要求这剩下的两滴补充，概率就是(1/n)^2。问题的关键就变成找出这2个位置是谁空出来的。
可能是倒数2滴空出来的，概率就是(n-1/n)*(n-2/n).也可能是倒数第1滴和倒数第三滴空出来的，概率就是(n-1/n)*(n-3/n)。那么其中有一滴是倒数第一滴空出来的概率就是（n-1/n)*（n-2+n-3+……1)/n。
现在我们只得到了空出来两滴其中有一滴是因为倒数第一滴的情况。
再分析其中没有倒数第一滴的情况，包括有倒数第二滴的情况，倒数第三滴的情况。总之，最后求和计算。我觉得根据我的手算解决不了这个问题，看来需要用程序了。
m-n的数值越大，分析过程越复杂。

可能这是我分析思路的问题，期待楼下强人

Answer 2

首先，M=50，N=10时结果确实大于1，约等于1.027；举个方便计算的例子：M=5，N=2，结果等于2.5。
这句话有问题吧，几率怎么可能大于1. 就拿M=5，N=2来说。5滴全在第一个格内的几率是0.5的5次方，全在第二个格内的几率也是0.5的5次方。那么就是说5滴全在一个格内的几率是0.5的4次方。
由此可见两格都有墨水的几率为1-(0.5^4)=15/16

Answer 3

只有n滴时所有格子全满的概率是n！/n的n次方
增加1滴 也就是如果m=n+1时。
如果最后n滴全满，就是n！/n^2设为S0
如果第n滴与前面某滴重复 是n！/n^2*（n-1）/n
类推到第2滴与第一滴重复 是n!/n^2*1/n
求和是n!/n^2*（n+1)/2设为S1
这个与4，3情况符合
如果多两滴 也就是m=n+2呢，
第n+1滴全满就是s1
滴n+1滴与前面重复就是s1*n/n+1
求和是s1*（1+n/n+1) =s2
类推 s3=s2*（1+n+1/n+2)
Sm-n=Sm-n-1(1+m-n-1/m-n)
然后依次带入Sm-n-1,……s1
可以得到所求
Sm-n=S1*（1+n/n+1)(1+n+1/n+2)....(1+m-n-1/m-n)=[n!/n^2*（n+1)/2]（1+n/n+1)(1+n+1/n+2)....(1+m-n-1/m-n)
最后（1+n/n+1)(1+n+1/n+2)....(1+m-n-1/m-n)的化简就是分式上面等差数列求积，
（2n+1)(2n+3)(2n+5)……(2m-2n+1)/(n+1)(n+2)……(m-n)
分式下面等于（m-n)!/n!
分式上面好像等于(m-n+1/2)!*2^(m-n)/(n-1/2)！

Answer 4

To 474096872:
如果把水滴看成可区分的，则总的可能性是N^M;
如果把水滴看成不可区分的，则总的可能性比N^M要小，需要除以一个系数。
而两种分析方法算下来结果是一样的。

To 楼主：
首先，你说的这句话不对：
“其次，两个问题显然不一样：前一个是滴1~M滴墨水时正好每个格子都有墨水的概率的总和；后者仅是当滴第M滴墨水时正好每个格子都有墨水的概率。 ”

题目中这么说：
向盒子内滴入M滴墨水（M>N，例如30）后。

这里说的是“后”，表示已经滴完了M滴。

我怎么看题目两个问题都是一样的。

然后看前面一个问题：
简化为，N个格子，M个水滴，滴完后，N个格子都有水滴的概率。
首先，水滴之间是可以区分的（根据滴的次序）；
其次，每个水滴都有N种选择，
则总的可能性为N^M（表示N的M次方）；
再次，每个格子都有水滴，则首先从M中取出N滴来，扔进N个格子里面是全排列，这样的可能性有Amn(n是上标，有些地区的教材里面这个A用P表示)；
然后剩下的(N-N)个水滴则随便扔，其总的可能性为N^(M-N)；

最后，则所求概率为Amn*N^(M-N)/N^M=(N!/M!)/N^N

Answer 5

楼上“ro_wow”犯了一个错误，在试图把问题简化时把水滴作区分来看待，这明显的不合理。
在这道题中，只关心滴墨水的结果的不同，对滴墨水的过程是不用理会的，也就是说，与具体的第几滴墨水滴到哪一个格子上是没有关系的，只要最后的结果一样，都可以看作是同一种情况。