关于高等数学曲面积分对称性问题

Question

在曲面z=x^2+y^2上，曲面关于zOx对称，y^2对y为偶函数，为什么 ∬y^2 dzdx=0?（某试卷答案）
教科书上不是说在对称区域，被积函数是奇函数才为0么。

Answer 1

首先，肯定一下教材没有错。错的是你的结论成立范围理解错误。

重积分曲线曲面都有第一型和第二型积分之分。
你说的判断原则只适用于第一型，即被积区域是没有方向之分的。
第二型曲线或曲面积分是被积区域带方向的。被积区域尽管对称，但对称的两区域积分方向不同，函数积分值就相互抵消了。
此题就属于第二型曲面积分。在曲面z=x^2+y^2上（取外侧也好，内侧也好），zOx平面把曲面一分两半，一半方向指向y轴正方向，一半指向y轴负方向。

求解思路上：求解第二型曲面积分，都是把它转化为第一型曲面积分求解的。
然后一般的话，第一型曲面积分再投影到某个坐标平面积分求解。

几何上，你把曲面z=x^2+y^2投影到zOx面上的时候，原来的曲面是不是被你压扁成两层了啊，就像香蕉被你侧面一踩，香蕉内层或外层方向相反啊。层与层相抵消，所以结果为0
550178082同学通过变换把曲面积分投影到到xoy平面求了，曲面压缩到xoy面上是不是就是一层了吗，就像香蕉被你从上面播开，开花状铺成一层。这一层左右对称，同一层的左右相抵消就是0，无论这个面是朝上（对应题目所给曲面的内侧）还是朝下（对应题目所给曲面的外侧）。

回去再好好看看书本概念，耐心一点看，再联系本题，想通了会很开心。

Answer 2

教科书上说的"对称区域，被积函数是奇函数才为0"，是说一重积分或者二重、三重积分，这个是曲面积分，应该化为二重积分来算。就是∬y^2 dzdx=∬y^2(-z/y) dxdy=-2∬y^3 dxdy，这时候就可以用对称性来做了。（-z/y是对z求y偏导的意思）

追问

但是曲面是关于zOx平面对称啊，不是在dxdy啊，还是没懂，求解释！ 谢谢！！！

追答

曲面有方向的，只看积分图形的对称性就不适用了，还要看在不同区域中曲面的方向。陈考研同学讲得很具体，你可以参考一下ta说的~

追问

谢谢

Answer 3

很简单，试卷上答案可以印错，但是教科书上不会，相信教科书，书上说1+1等于3也是对的，一切以书为准

追问

可是如何直接等于0了，前后就矛盾了 ，后续的问题就算不出来了啊。