已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0）满足f(0)=0,且对任意x属于R,都有f(x)≥x,f(-1/2+X)=f(-1/2-x),

Question

令g(x)=f(x)-|mx-1|(m＞0）
1、求函数f(x)的表达式
2、求函数g(x)的单调区间
3、当m＞3时，研究函数g(x)在区间（0,1）上零点的个数

Answer 1

再完成此题之前，我们先分析一下条件，条件有三个
第一个：f(0)=0，所以可以得到c=0
第二个：对任意x属于R,都有f(x)≥x，所以f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c≥0对任意x属于R恒成立。
所以a>0,(下面用Q表示德塔，也就是(b-1)^2-4ac,那个三角形的符号打不出来，见谅） Q<=0 (用键盘打不出小于等于的符号，用这个代替）
但是由于c=0，所以(b-1)^2<=0,所以(b-1)^2=0,b=1(明白没？其实很简单）
再看第三个条件：f(-1/2+X)=f(-1/2-x)，这意味着f(x)的对称轴是x=-1/2。（自己体会下画画图就明白了）所以-b/2a=-1/2有第二个条件得到的结论b=1,所以a=1
于是，我们就得到了f(x)=x^2+x,也就是第一问
看第二问：显然是要分情况讨论，
当x≥1/m时，g(x)=f(x)-mx+1=x^2+x-mx+1,所以x≥(m-1)/2时，f(x)递增，x<=(m-1)/2时，f(x)递减，之后判断这两个区间与1/m的大小关系，在对其余情况讨论即可
时间有限，第三问你再想想，先给20分吧。=下再回答接下来的。

Answer 2

1,f(0)=0，得c=0
对于任意x∈R都有f(-1/2+X)=f(-1/2-x),函数f（x）的对称轴为x=-1/2,
-b/2a= -1/2,得a=b
f(x)≥x,ax^2+(b-1)x+≥0对于任意x∈R都成立
a＞0，且△=(b-1)^2<0
(b-1)^2≥0，得b=1，a=1．
f(x)=x^2+x
2,g(x)=f(x)-|λx-1|={x^2+(1-λ)x+1,x≥1/λ, x^2+(1+λ)x-1,,x<1/λ},
当x≥1/λ,函数g(x)=x^2+(1-λ)x+1,的对称轴为x=-(1-λ)/2
如(1-λ)/2≤1/λ,0＜λ≤2函数g（x）在(1/λ,+∞)上单调递增
(1-λ)/2>1/λ,λ＞2，函数g（x）在(λ-1)/2,+∞)单调递增,在(1/λ,λ-1/2)上单调递减
当x<1/λ,函数g(x)=x^2+(1+λ)x-1,的对称轴为x=-(1+λ)/2<1/λ
函数g（x）在(-1-λ/2,1/λ)上单调递增,在(-∞，-1-λ/2)上单调递减
综上所述
当0＜λ≤2时，函数g（x）单调递增区间为(-1-λ/2,+∞),单调递减区间为(-∞，-1-λ/2)
当λ＞2时，函数g（x）单调递增区间为(-1-λ/2,1/λ),和(λ-1/2,，+∞)，
单调递减区间为(-∞，-1-λ/2)和(1/λ,λ-1/2)
3,λ>2时,函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点

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