不定积分换元法

Question

∫(x/1+x^2)dx=1/2∫(dx^2/1+x^2)=1/2∫(du/1+u)=1/2∫[d(u+1)/1+u]

我想问的是∫(x/1+x^2)dx=1/2∫(dx^2/1+x^2)这一步怎么计算出来的，还有为什么1/2∫(du/1+u)=1/2∫[d(u+1)/1+u]中的du=d(u+1)?
越详细越好，谢谢。

Answer 1

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类：

第一类换元法：

设f(u)具有原函数F(U)，即。

F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。

如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：

dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。

从而根据不定积分的定义就得：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

于是有下述定理：

定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。

而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这一方法后，可以不必引入变量u。

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分来对待。

从而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一题目中已经这样用了，那里把积分∫F'(x)dx,记作∫dF(x)，就是按微分F'(x)dx=dF(x)，把被积表达式F'(x)dx。记作dF(x)

设要求∫g(x)dx，如果函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式，那么：

∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，如果能求得f(u)的原函数，那么也就得到了g(x)的原函数。

第二类换元法：

上面介绍的第一类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化为积分∫f(u)du。

下面将介绍的第二类换元法是，适当地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分，∫f[φ(t)]φ'(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt。

这公式的成立是需要一定条件的，首先，等式右边的不定积分要存在，即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函数；其次，∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出后必须用x=φ(t)的反函数t=φ^(-1)(x)代回去。

为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数x=φ(t)在t的某一个区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是单调的，可导的，并且φ'(t)=0。

归纳上述，给出下面的定理：

定理2 设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式。

∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。

其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函数。

注意：与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。关键是：如何选择变量替换。

扩展资料：

不定积分的4种积分方法：

1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。要求：熟练掌握基本积分公式。对于复杂式子可以将其分为两个部分，对复杂部分求导，结果与简单部分比较。

2、换元法：包括整体换元，部分换元。还可分三角函数换元，指数换元，对数换元，倒数换元等等。须灵活运用。注意：dx须求导。

3、分部积分法：利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。注意：对u和v要适当选择。

4、有理函数积分法：

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。

参考资料来源：百度百科-换元积分法

Answer 2

首先你要懂得导数的运算公式，求不定积分是求导的逆过程
∫ x/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + x²) • (x dx)
= ∫ 1/(1 + x²) d(x²/2)
这里其实是对x求积分的，即x dx ~ ∫ x dx = x²/2 + C ~ d(x²/2 + C) = d(x²/2)，C在求导后变为0
或者用导数容易理解，就是(x²/2)' = d(x²/2)/dx = 1/2 • 2x = x
变为微分形式就是d(x²/2) = x dx

再次根据求导的原理
由于任何常数的导数都是0
d(C)/dx = 0 ==> d(C) = 0
而d(Cx)/dx = C • dx/dx = C ==> d(Cx) = C • dx
再进一步，d(Ax + B)/dx = (A + 0) = A ==> d(Ax + B) = A • dx
于是d(u + 1)/du = (u + 1)' = 1，u + 1对u求导
得出d(u + 1) = du，两边乘以du即可，这是微分形式

追问

你看看我的分析对不dx^2=（x^2）’dx分析df(x)/dx=f(x)'一样只不过f(x)换成了x^2.
如果我分析对的话du=d(u+1)我也明白了。

追答

对
d(x²) = (x²)' dx = (2x) dx,，两边除以2得
==> (1/2) d(x²) = x dx 或 x dx = d(x²/2)
du = d(u ± 1) = d(u ± 1000) = d(u ± 任意常数)
但
du = d(Ku/K) = (1/K) d(Ku) = (1/K) d(Ku + N)

或du = d(u/K • K) = K d(u/K) = K d(u/K + M)

加减常数可任意加上，但乘以常数需要抵消 !

Answer 3

0.5dx^2=0.5*（x^2）’dx=0.5*2xdx=xdx
因为(u+1)’=u‘=u‘+1’=u‘+0=u‘
所以du=d(u+1)

追问

你看看我的分析对不dx^2=（x^2）’dx分析df(x)/dx=f(x)'一样只不过f(x)换成了x^2.
如果我分析对的话du=d(u+1)我也明白了。

追答

对的

追问

d(u+1)/u+1=[1/(u+1)]d(u+1)这个成立么