高中数学中证明奇偶函数、周期函数、含参的等问题（各种方法的思路）

Question

题1.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，f（1/2）=0 一求证：f（x）是偶函数。二求证：f（x）是周期函数。三若f（x）在[0,1]内是单调函数，求f（1/3）与f（1/6）的值。
题2.函数f（x）=x²+2x+a在[1/2，正无穷]上是增函数，则实数a的取值范围为 ？
题3.函数f（x）=log7（ax²+2x+1）7为底数在（1，正无穷）上是增函数，则实数a的取值范围为？
题4.已知函数f（x）=x²+a/x（x≠0，a∈R），若f（x）在区间（2，正无穷）上是增函数，求实数a的取值范围。
麻烦大家了！！
不好意思 第二题 为函数 f（x）=（x²+2x+a）/x

Answer 1

题1：（1）令x=0，有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
令y=0，有f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
注意到x与y是同等关系的(即x与y的位置可以调换）
于是，由上面两式可以等到f(x)=f(-x),(两式相减）定义域为R，所以为偶函数。
(2)令y=1/2，则有f(x+1/2)+f(x-1/2)=0，即f(x+1/2)=-f(x-1/2)=f(1/2-x)，（*）
再令x+1/2=t,x=t-1/2,（*）式则为f(t)=f(t+1)
所以 f（x）是周期函数。
（3）令x=1/3,y=1/6,有f(1/2)+f（1/6）=2f(1/3)f（1/6）又f（1/2）=0，
所以f（1/6）[1-2f(1/3)]=0，因为f（x）在[0,1]内是单调函数，所以f(1/6)不为0，所以f(1/3)=1/2，
同样方法可以求f(1/6)的值。
题2，在[1/2，正无穷]上是增函数，说明函数f（x）=x²+2x+a的对称轴在1/2的左边。显然，f（x）=x²+2x+a对称轴为x=-1，与a无关，则属于R。二次函数，配方可以解决单调性，值域等问题。
题3，外函数是增函数，则内涵数也要为增函数（同增异减),所以a＞0，且对称轴在1的左边，另外，还要确保当x=1时，ax²+2x+1＞＝0，即-2/a＜＝1，a+3＞＝0，即-3＜＝a＜＝-1/2。
题4最好的方法是求导，然后分离常数，你有学吗？
f'(x)=2x-a/x^2=(2x^3-a)/x^2,因为f（x）在区间（2，正无穷）上是增函数，所以f'(x)的值＞＝0（x＞2），只要2x^3-a＞＝0即2x^3＞＝a，即a＜＝12（因为当x=2时有意义，当x=2时，2x^3取最小值）
证明奇偶性，首先考虑定义域，其次再考虑其它，像第一题那种抽象函数，一般用赋值法去做。
周期性的题，有些会比较难点想到，很多时候会用换元法。
含参数的题，有分离常数，有分类讨论等等。

Answer 2

首先判断一个函数是奇函数还有偶函数就看 FX加 -FX等于0 还是-FX 加 F-X等于0 如果是前者就是奇函数后者偶函数