求证：a的平方+b的平方+c的平方=2abc无解

Question

abc均为正整数

Answer 1

你好，这道题可以这么来考虑：
首先a、b、c要么全是偶数，要么仅有一个偶数，否则平方和不可能为偶数；
1、假设a、b、c中仅有一个偶数，不妨设a=2p、b=2q+1、c=2r+1，p>0，q、r>=0，则等式可以写为4p^2+4q^2+4q+1+4r^2+4r+1=4p(2q+1)(2r+1)，可以看到，左边除以4余2，而右边可以被4整除，因此这种情况是不可能的；
2、假设a、b、c均为偶数，提取出a、b、c中所有2的因子，设a=2^p*x、b=2^q*y、c=2^r*z，x、y、z为奇数，p、q、r>=1，则等式可以写为2^2p*x^2+2^2q*y^2+2*2r*z^2=2^(p+q+r+1)xyz；可以看出，左边2的因子的次数为Min(2p、2q、2r)=2Min(p、q、r)，右边2的因子的次数为(p+q+r+1)>=3Min(p、q、r)+1，Min为最小值符号，左边是绝对小于右边的，因此这种情况也是不可能的；
综上，这个方程没有正整数解。

FYI：第二部分的证明也可以用a=2p、b=2q、c=2r的方法证明，那样等式会变为p^2+q^2+r^2=4pqr，需要作一个迭代的证明过程（刚刚看到ytascr网友就是这么做的），不如上面的方法来得简便。
FYI：zyrzh网友的证明中“a ² +b ² +c ² ≥3√a ² b ² c ² =3abc”是不正确的，三个数相加，右边应该是三次开方，而不是二次开方，方程是有正数解的，只是没有正整数解。

Answer 2

你好

根据均值不等式
a ² +b ² +c ² ≥3√a ² b ² c ² =3abc
abc均为正整数
所以abc＞0
3abc＞2abc
a ² +b ² +c ² ＞2abc
即a ² +b ² +c ² =2abc
无解。

Answer 3

2a＾2b＋2a＾2c－2ab＾2－2abc＝0；已知AB，C均为正数故a，b，c不等于0；上式＝ab＋ac－b＾2－bc＝0；a（b＋c）＝b（b＋c）；b＋c不等于0a＝b；还是尽量自己思考三道呀！！

Answer 4

追问

这以前的不是就已经证完了吗，这一段又是什么意思呢？

追答

补充说明