函数在某点可导可以推出邻域内也可导吗？

Question

1.函数在某点可导，可不可以推出它的邻域内可导？如果是的话，课本上的例题只给出“f(x)在x=a处可导” 的条件，算f '(a)只能用定义而不能用洛必达法则，是为什么？

2.函数f(x)在（a,b）内处处可导，那么f '(x)一定是连续的吗？书上说不一定，但是我可不可以这样理解，在某区间内可导的函数一般是圆滑的曲线，那么导函数应该是逐渐增大的，而不会突然跳跃的变化，所以应该是连续的。但书上我不一定连续，请指教

Answer 1

　　（1）函数在某点可导，不可以推出它的邻域内可导。否则将可以推出其在某区间上甚至在R上可导，这可是一个 "伟大的" 发现。计算 f'(a) 跟洛必达法则有啥关系？没听懂。
　　（2）函数f(x)在（a,b）内处处可导，但f'(x)未必在（a,b）内处处连续。例如函数
　　　 　f(x) = (x^2)sin(1/x)，当x不为0时，
　　　　 　 　= 0， 当x=0时，
其导函数在R上处处存在:
　　 　　f‘(x) = 2xsin(1/x) - cos (1/x)，当x不为0时，
　　　　　 　 = 0， 当x=0时，
但其在0点不连续。

Answer 2

必须是不定式才能用洛必达法则，比如0/0或无穷/无穷
f '(x)可能是可去间断点，因为如f '(x)在x。间断，但是若f '(x)在x。处左右极限都存在且相等，则f '(x)存在，即f(x)在x。处可导