已知a,b为正数且a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b）^2大于等于25/2 1，要求用三角解

Question

2，还有要求用增量法设a=1/2+t b=1/2-t
用一般不等式的方法我会，求上面两种方法，谢谢：）

Answer 1

1、设a=sin^2a，b=cos^2a，则：
原式=(sin^2a+1/sin^2a)^2+(cos^2a+1/cos^2a)^2
=sin^4a+cos^4a+1/sin^4a+1/cos^4a+4
=1-2sin^2acos^2a+(1-2sin^2acos^2a)/sin^4acos^4a+4
=5-sin^22a/2+(16-8sin^22a)/sin^42a
令t=sin^22a，t∈(0,1]，则：
上式y=5-t/2+(16-8t)/t^2，
y’=-1/2-32/t^3+8/t^2<0，
即y是减函数，即f(t)>=f(1)=5-1/2+(16-8)/1=25/2，命题得证；
2、设a=1/2+t ， b=1/2-t，t∈[0,1/2)，则：
原式=[(1+2t)/2+2/(1+2t)]^2+[(1-2t)/2+2/(1-2t)]^2
=(1+4t^2)/2+8(1+4t^2)/(1-4t^2)^2+4，
令1-4t^2=u，u∈(0,1]，1+4t^2=2-u，
上式y=(2-u)/2+8(2-u)/u^2+4，
y‘=-1/2-32/u^3+8/u^2<0，
即y是减函数，即f(u)>=f(1)=(2-1)/2+8(2-1)/1^2+4=25/2，命题得证。

Answer 2

(a+1/a)有两种情况
1，【a+(1/a)]
2,(a+1)/2
请问是1,还是 2？

追问

1 不好意思