一个不定积分问题，如图，请高手帮我解答一下我的疑问，谢谢

Question

帮我看看

Answer 1

这一步错了。根号X还要求导的啊。这是复合函数的求导。所以你的结果

就不正确了。你看正确的换元以后，根号x还在微分符号后面。

应该懂了吧。具体就不写了。

如果对你有帮助，请及时采纳。如果有疑问，请随时追问。谢谢！

Answer 2

令u = sinx，x = arcsin(u)
f(sin²x) = x/sinx
==> f(u²) = arcsin(u)/u
即=> f(u) = (arcsin√u)/√u
∫ √x/√(1 - x) * f(x) dx
= ∫ √x/√(1 - x) * (arcsin√x)/√x dx
= ∫ (arcsin√x)/√(1 - x) dx
注意这里虽然被积函数是f(√x) = arcsin√x/√(1 - (√x)²)的形式
但却是对x积分，是dx；而不是对√x积分，即不是d(√x)的形式
所以要先凑为d(√x)的形式
故∫ (arcsin√x)/√(1 - x) dx
= ∫ (arcsin√x)/√(1 - (√x)²) * (2√x)/(2√x) dx
= ∫ (arcsin√x)/√(1 - (√x)²) * (2√x) d(√x)
= ∫ (arcsin√x) * 2√x d(arcsin√x)
= ∫ √x d(arcsin√x)²，这里已经看到不妥了，凑微分里的算式不会比积分号里的复杂
= √x(arcsin√x)² - ∫ (arcsin√x)² d√x，被积函数变得复杂了，这不是分部积分法的目的!
所以应改为∫ (arcsin√x)/√(1 - x) dx
= ∫ arcsin√x/[2√(1 - x)] * (- 2) d(1 - x)
= - 2∫ arcsin√x d√(1 - x)
= - 2√(1 - x)arcsin√x + 2∫ √(1 - x) d(arcsin√x dx
= - 2√(1 - x)arcsin√x + 2∫ √(1 - x) * 1/√(1 - (√x)²) * 1/(2√x) dx
= - 2√(1 - x)arcsin√x + 2∫ √(1 - x) * 1/√(1 - x) * 1/(2√x) dx
= - 2√(1 - x)arcsin√x + ∫ 1/√x dx
= - 2√(1 - x)arcsin√x + 2√x + C

知道分部积分法的原理么？
∫ vdu = uv - ∫ udv、v是比u复杂的函数
第一步是凑微分：∫ vu' dx = ∫ vdu
就看∫ √x d(arcsin√x)²
这里v = √x，u = (arcsin√x)²，u比v复杂，明显不符合分部积分法的原意

下面这个方法更好更快：
∫ √x/√(1 - x) * f(x) dx，令x = sin²y、dx = 2sinycosy dy
= ∫ siny/cosy * f(sin²y) * 2sinycosy dy
= ∫ 2sin²y * y/siny dy
= ∫ 2ysiny dy
= - 2∫ y dcosy
= - 2ycosy + 2∫ cosy dy
= - 2ycosy + 2siny + C
= - 2√(1 - x)arcsin√x + 2√x + C

Answer 3

这里抄错了吧，应该是U-1吧