如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在边AB，BC，CD上，且AE=GF=GC.当∠FGC=2∠EFB时

Question

求证：四边形AEFG是矩形

Answer 1

证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，则 ∠B=∠C
由GF=GC，得 ∠C=∠GFC ∴ ∠B=∠GFC
∴ AE//GF 且 AE=GF(已知) ∴ 四边形AEFG是平行四边形
当∠FGC=2∠EFB时，∠EFB+∠GFC=(∠FGC+∠GFC+∠C)/2=90°
则 ∠EFG=180°-(∠EFB+∠GFC)=90°
故 四边形AEFG是矩形(一个角是直角的平行四边形是矩形)

Answer 2

在梯形ABCD中，AD//DC ∵AB＝DC

∴∠B=∠C
在△GFC中
∵GF=GC
所以∠GFC=∠C
∴∠B=∠GFC
∴AE//GF
∵AE=GF且AE//GF
∴四边形AEGF是平行四边形
在△GFC中
∠C+∠GFC+∠FGC=180°
∵∠FGC=2∠EFB，∠GFC=∠C
∴2∠GFC+2∠EFB=180°
∴∠GFC+∠EFB＝90°
在∠BFC中
∠BFE+∠EFG+∠GFC=180°
∠EFG=180°-∠EFB-∠GFC
=90°
∵∠EFG=90° 四边形AEGF是平行四边形
∴四边形AEFG是矩形
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Answer 3

证明:∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC
∴∠B=∠C
又∵GF=GC
∴∠GFC=∠C
∴∠B=∠GFC
∴AB∥GF
又∵GF=AE
∴四边形AGFE是平行四边形
∴∠AEF+∠EFG=180°
又∵∠AEF=∠B+∠EFB,∠EFG=∠C+∠FGC-∠EFB,∠FGC=2∠EFB
∴∠AEF=∠EFG=90°
∴四边形AEFG是矩形