如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在AB、AC、CD上，AE=GF=GC。

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F、G分别在AB、AC、CD上，AE=GF=GC。
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形
（2）当∠FGC=2∠EFB，求证：四边形AEFG为矩形。

Answer 1

(1)
∵AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴∠B=∠C
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠C
∴∠GFC=∠B
∴GF//AE
又∵AE=GF
∴四边形AEFG是平行四边形

(2)
∵∠GFC=∠C，∠FGC=2∠EFB
又∵∠GFC+∠C+∠FGC=180°
∴ 2∠GFC+2∠EFB=180°
∴ ∠GFC+∠EFB=90°
∴∠EFG=180°-90°=90°，

∵四边形AEFG是平行四边形
∴四边形AEFG是矩形

Answer 2

(1)因为AE=GF=GC，所以∠CFG=∠C
由于在梯形ABCD中AD‖BC，AB=DC
所以∠B=∠C
所以∠CFG=∠B
所以AE‖GF

所以四边形AEFG是平行四边形.
(2)设∠EFB=X,则∠FGC=2X,
三角形CGF是等腰三角形 顶角是2X,底角为(180-2X)/2=90-X
即∠CFG=90-X
所以∠EFB+∠CFG=90
所以∠EFG=90
所以四边形AEFG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
所以∠EFB+∠CFG=90
所以∠EFG=90
所以四边形AEFG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）