设f(x)在闭区间[a,b] 上连续，在开区间[a,b] 内可导，且f(a)=0 ,证明存在ξ∈(a,b) ,使得 f'(ξ)=(a*f(ξ

Answer 1

证明：设F(x)=f(x)(b-x).则：F(x)在闭区间[a,b] 上连续，在开区间（a,b)内可导.
由于F(a)=f(a)(b-a)=0 F(b)=0, 由罗尔中值定理，存在ξ∈(a,b) ,使得 F'(ξ)=0
但F‘(x)=f’(x)(b-x)-f(x)，代入得：
f’(ξ)(b-ξ)-f(ξ)=0
即：
f’(ξ)= f(ξ)/(b-ξ)

追问

我要证明的是 f’(ξ)=a* f(ξ)/(b-ξ)

追答

F(x)=f(x)(b-x)^a
F‘(x)=f’(x)(b-x)^a-af(x)(b-x)^(a-1)
f’(ξ)(b-ξ)^a-f(ξ)(b-ξ)^(a-1)=0