高等数学求高手解答

Question

设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost，y=asint，z=kt，其中0《t《2π，线密度是p（x，y，z）=x^2+y^2+z^2,求它关于z轴地 转动惯量Iz以及质心
求详细解答，并且说明原因，谢谢

Answer 1

M=∫(Γ)ρds=∫(0,2π)[a^2+(kt)^2]√(a^2+k^2)dt=√(a^2+k^2)[2πa^2+(8/3)(k^2)π^3]
Mx=∫(Γ)xρds=∫(0,2π)acost[a^2+(kt)^2]√(a^2+k^2)dt
=ak^2√(a^2+k^2)∫(0,2π)costt^2dt=4πak^2√(a^2+k^2)
My=∫(Γ)yρds=∫(0,2π)asint[a^2+(kt)^2]√(a^2+k^2)dt
=ak^2√(a^2+k^2)∫(0,2π)sintt^2dt=-(4π^2)ak^2√(a^2+k^2)

Mz=∫(Γ)zρds=∫(0,2π)kt[a^2+(kt)^2]√(a^2+k^2)dt
=√(a^2+k^2){2(π^2)(a^2)k+4(π^4)k^4]
x(bar)=2ak^2/[a^2+(4/3)(kπ)^2]
y(bar)=-2πak^2/[a^2+(4/3)(kπ)^2]
z(bar)=[π(a^2)k+2(π^3)k^4]/[a^2+(4/3)(kπ)^2]

Iz=∫(Γ)(x^2+y^2)ρds=a^2√(a^2+k^2)[2πa^2+(8/3)(k^2)π^3]

追问

能说说原因吗？