已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求 的最小值。

Question

已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求 的最小值。

Answer 1

【错解分析】 =a 2 +b 2 + + +4 ≥2ab+ +4 ≥4 +4=8, ∴(a+ ) 2 +(b+ ) 2 的最小值是8. 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2 +b 2 ≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b= ,第二次等号成立的条件是ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 【正解】原式= a 2 +b 2 + + +4 ="(" a 2 +b 2 )+( + )+4 =[(a+b) 2 －2ab]+[( + ) 2 － ]+4 = (1－2ab)(1+ )+4， 由ab≤( ) 2 =  得：1－2ab≥1－ = , 且 ≥16，1+ ≥17， ∴原式≥ ×17+4=  (当且仅当a=b= 时，等号成立)， ∴(a + ) 2 + (b + ) 2 的最小值是 。 【点评】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。