求过（0,0,5）与（5,0,0）两点且与球面想x^2+y^2+z^2=1相切的平面方程

Answer 1

那求全导数的方法我就忘记了
但还是有其他方法可求得
那就设切点是M（a,b,c)，
已知点A（0,0，5），B（5,0,0），原点（0,0,0）
于是必然
向量OM垂直向量MA，向量OM垂直向量MB
于是他们分别点乘就等于0
还有MA=（a,b,c)-（0,0，5）=（a,b,c-5)
MB=（a,b,c)-（5,0，0）=（a-5,b,c)
OM=(a,b,c)
于是
a²+b²+c(c-5)=0, ①
a(a-b)+b²+c²=0 ②
还有M（a,b,c)在球面x^2+y^2+z^2=1上
于是有
a²+b²+c²=1 ③
联立①②③就解得
a=1/5,c=1/5,b=±√23/5
于是M（1/5,±√23/5,1/5,)
知道切点就好算了，可惜我还是记不起来了，
知道切点，就可以求出向量MA，MB
然后向量MA叉乘MB就可以解出切平面的法向量
然后根据点法式就可以解出
切 平 面

希望对你有帮助啦，忘记的真的忘记

或许我啰嗦了，开始做的时候总是先想到烂方法，现在我翻翻书知道了另一种号方法，等等

百度了一下，找到了点到平面的距离公式，就是
p点（x,y,z)到平面：AX+BY+CZ+D=0
d=|Ax+By+Cz+D|/√(A^2+B^2+C^2)

那我开始正式解答了

解：切平面方程为AX+BY+CZ+D=0，那么球心O（0,0，0）到切平面距离应该等于半径1
也就是|A×0+B×0+C×0+D|/√(A^2+B^2+C^2)=1
也就是D^2=A^2+B^2+C^2 ①
还有平面过（0,0,5）与（5,0,0），于是把他们代进平面方程就是
A×0+B×0+C×5+D=0 即C=-D/5 ②

A×5+B×0+C×0+D=0 即A=-D/5 ③

把②③代进去①就得
B=±√23D/5, ④
把②③④代回去切平面方程就得
-D/5 x±√23D/5y-D/5 z+D=0

因为D≠0
于是
切平面就是
x±√23y+z-5=0

追问

设方程为Ax+By+Cz+D=0,利用两个点求得A=C=-1/5D,然后利用圆心到平面的距离求出B和D的关系，然后我就不会做了，请问接下来还做得下去吗？

追答

刚提交的，

解：切平面方程为AX+BY+CZ+D=0，那么球心O（0,0，0）到切平面距离应该等于半径1
也就是|A×0+B×0+C×0+D|/√(A^2+B^2+C^2)=1
也就是D^2=A^2+B^2+C^2 ①
还有平面过（0,0,5）与（5,0,0），于是把他们代进平面方程就是
A×0+B×0+C×5+D=0 即C=-D/5 ②
A×5+B×0+C×0+D=0 即A=-D/5 ③
把②③代进去①就得
B=±√23D/5, ④
把②③④代回去切平面方程就得
-D/5 x±√23D/5y-D/5 z+D=0
因为D≠0
于是
切平面就是
x±√23y+z-5=0