已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆C的离心率为2分之一且经过点（-1,2分之3）

Question

1、求椭圆C的方程。
2、若过点P（2,1）的直线L与椭圆C相切与点M，求直线L的方程以及点M的坐标。

1、第一问我求出椭圆C的方程为：x方比4+y方比3=1，不知道对否。
2、我做的方法和网上的不一样，但我认为对。但是答案却和网上的不符。不知道为什么求解答！！！
（我说下我的思路）：既然直线L与椭圆C相切，所以肯定是唯一的点M了，所以他在椭圆C上。那么我设M点坐标为（x1，y1）所以x1方比4+y1方比3=1 又因为椭圆的性质，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2a。所以|MF1|+|MF2|=2a 因上问求出a方=4所以2a=4
两个方程联立，我求出x1=4，但带入x1方比4+y方比3=1时却求取y1方=-9怎么会出负数？但是我算了5,6边了计算没有问题，但不知道问题出在那里？求高手解答！在此感谢！

Answer 1

1/
x^2/4c^2+y^2/3c^2=1 将(-1,3/2)代入
1/4c^2+3/4c^2=1
c^2=1
x^2/4+y^2/3=1
你做对了.
2/
P点在椭圆外,可以作出两条切线,所以M不是唯一的.
另外,长轴端点是2,也就是椭圆上点横坐标在[-2,2]之间,不可能为4
你的过程明显有问题.
你说两个方程联立,是哪两个方程?
x1方比4+y1方比3=1 与 |MF1|+|MF2|=2a=4 么?
错了.这两个方程是同一个方程.都代表这个椭圆,联立是没有意义的.
要联立的话,是联立直线方程和椭圆方程.
设直线方程为y=kx+b,
将(2,1)代入,得b=1-2k
直线为 y=kx+1-2k
与x^2/4+y^2/3=1 联立.,得二次方程:
(3+4k^2)x^2+8k(1-2k)x+16k^2-16k-8=0
因为相切,只有一个公共点,此方程只有一个解,判别式=0
64k^2*(1-2k)^2-4(3+4k^2)(16k^2-16k-8)=0
(看上去有点吓人,其实是一次方程,都约了)
解得k=-1/2
直线方程为: y=-1/2x+2, M(1,3/2)
还有另一条切线: x=2, M(2,0)

追问

你的另一条直线方程还有另一条切线: x=2, M(2,0)，怎么求出来的|？

追答

任意满足 x^2/4+y^2/3=1 的点都在这个椭圆上, 同时也满足|MF1|+|MF2|=4
这两个方程有区别么?
事实上,椭圆标准方程本来就是根据 |MF1|+|MF2|=2a 整理出来的.

P在椭圆外,切线就应该是两条.
求出来k只有一个,那说明另一条直线没有k.也就是与X轴垂直.