如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2倍根号3，∠AOB的平

Question

如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2倍根号3，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
要详解！！！

Answer 1

1)因为在直角三角形OAB中，∠AOB=60°
所以∠ABO=30
所以OA=OB/2=√3,由勾股定理得AB=3，
同理在直角三角形OAC中，AC=OC/2，
因为∠COB=∠CBO=30
所以OC=BC
所以AC=AB/3=1,
所以OC=2，
2)过Q作QN⊥AB,垂足为N,
依题意，得CP=2-t，CQ=t，
在直角三角形CQN中，QN=(√3/2)t
所以△CPQ面积=(1/2)*CP*CN=(1/2)*(2-t)*（√3/2)t=(-√3/4)t^2+(√3/2)t
3) 分三种情况讨论
当OP=OM时，
因为∠AOP=30°
所以∠OPM=∠OMP=75°
所以∠OQP=180-60-75=45°
过P作PK⊥OQ,垂足为Q,
在直角三角形OPK中，∠OPK=30°,OP=4-t，
所以KO=PO/2=(4-t)/2，PK=(√3/2)(4-t)
在直角三角形PQK中，∠PQO=∠QPK=45
所以PK=QK=(√3/2)(4-t)
所以由QK+KO=QO,得，
(√3/2)(4-t)+（4-t）/2=t-2
解得t=(2/3)(√3-3)
当OP=MP时，∠OMP=∠MOP=30°
所以∠OPQ=180-∠OMP-∠MOP=120°
在△OPQ中，∠OQP=180-∠OPQ-∠QOP=0
显然不能构成三角形，所以这种情况不存在
当OM=MP时，∠MOP=∠OPM=30°
所以∠OMP=180-∠QOP-∠QPO=90
所以OP=OM
即4-t=2(t-2)
解得t=8/3
所以符合条件的有两种
【望采纳】