已知函数f(x)=x³－ax²－3x, (1)若f(x)在区间[1，正无穷)上是增函数，求a

Question

已知函数f(x)=x³－ax²－3x, (1)若f(x)在区间[1，正无穷)上是增函数，求a范围(2)若x=－1／3为极值点，求f(x)在[1,a]上最大值(3)在(2)的条件下，是否有b使得函数g(x)=bx的图像与f(x)图像恰有三个交点，若有，求b范围，若无，说明理由

Answer 1

解：（1）
f '(x)=3x²-2ax-3 对称轴x=a/3
因为f(x)在[1，+∞)上是增函数
所以当x∈[1，+∞)时，f '(x)≥0恒成立
故 a/3≤1
f '(1)=-2a≥0
解得a≤3
a≤0
故a≤0
（2）若x=－1／3为极值点，则0=1/9+2a/3-3
=>a=4
所以，f(x)=x³－4x²－3x
f '(x)=3x²-8x-3=(3x+1)(x-3)=0

=>x1=-1/3,x2=3
f(x)在[1,4]上有

f(1)=-6 ,f(3)=-8,f(4)=-12
故f(x)在[1,4]的最大值=-6.

（3）f(x)与g(x)的图像有三个交点，即f(x)=g(x)有三个不等根
当x=0时，f(x)=g(x)成立；
则 当x≠0时，f(x)=g(x)有两个不为零的不等根
所以有x²-4x-3=b即x²-4x-3-b=0有两个不为零的不等根
△=b^2-4ac=16+4(3+b)>0
故b>-7
又因为此处x≠0 所以b≠-3
故-7<b<-3或x>-3