高分求助一道数学复数题，要完整步骤，越详细越好，答的好追加 注：自主招生培训课上的一道练习题，稍难

Question

例、已知复数z0=1-mi（m>0，m属于R）,z=x+yi 和w=x/+y/i，其中x，y，x/，y/均为实数，i为虚数单位，且对任意复数z，有w=z0的共轭乘以z的共轭，|w|=2|z|。
第一问：若z所对应点（x,y）在圆x2+y2-4x=0上，求w所对应点轨迹
第二问：是否存在这样的直线l, z对应点和w对应点均在直线l上？若存在，求出所有直线；若不存在，说明理由

Answer 1

解答：

答完那个了，居然还有一个啊。

直接复制一下答案吧。请参考吧。（为防止他人复制，用了我ID的水印。）

Answer 2

第一问：
w=(1+mi)(x-yi)
=x-yi+mxi+my
=x+my+(mx-y)i
=x/+y/i
所以：x/=x+my ，y/=mx-y.将两方程看成x，y的二元一次方程组，则有：
x=(my/+x/)/(1+m^2);
y=(mx/-y/)/(1+m^2)
因为(x,y)在圆上，则有：
(my/+x/)^2/(1+m^2)^2+(mx/-y/)/(1+m^2)^2-4(my/+x/)/(1+m^2)=0
化简得到w所对应的点（x/,y/)的轨迹方程为：
x/^2+y/^2-4my/-4x/=0.....（1）
考虑到|w|=2|z|
所以：x/^2+y/^2=4(x^2+y^2)
代入圆的方程：
(x/^2+y/^2)/4-4x=0
x/^2+y/^2-16x=0
x/^2+y/^2-16*(my/+x')/(1+m^2).....(2)
由（1）、（2）比较对应项系数，得到m^2=3.所以m=√3.
则轨迹方程为：x/^2+y/^2-4√3y/-4x/=0.
即(x/-2）^2+(y-2√3）^2=16.

第二问：
z=x+yi=(x,y),
w=x/+y/i=(x/,y/).

Answer 3

解：（1）ω=x'+y'i，ω=(1+mi)(x-yi)=x+my+(mx-y)i
|ω|=√[(x+my)²+(mx-y)²]=√[(m²+1)(x²+y²)]
因为|ω|=2|z|，所以√[(m²+1)(x²+y²)]=2√(x²+y²)，√[(m²+1)(x²+y²)]-2√(x²+y²)=0，m²+1=4， 或x²+y²=0, x=0, y=0
ω=z=0为实数

若x²+y²≠0 则：m²+1=4，即m=√3，

ω=x+√3y+(√3x-y)i 所以x+√3y=x'，√3x-y=y'

解得x=(x'+√3y')/4，y=(√3x'-y‘)/4.代入x²+y²-4x=0得(x')²+(y')²-4(x'+√3y')=0，即x²+y²-4(x+√3y)=0

由此可知 ω的轨迹是圆x²+y²-4(x+√3y)=0或原点（0，0）。

（2） 设x+yi 在直线y=kx+b 上，

有 ( x'-y‘)/4=k(x'+√3y')/4+b, 整理得

y' =(k+√3)/(k√3+1)x'+4b/(k√3+1)
对比y=kx+b 有.(k+√3)/(k√3+1)=k, 4b= 4b/(k√3+1) 得k=1或 k=-1,b=0, 存在 两条直线 y= x 或 y=-x满足 条件。

Answer 4

他们都错了,请看我的回答,这样的直线是存在的:

第一问：
W=x'+y'i，w=(1+mi)(x-yi)=x+my+(mx-y)i
|w|=√[(x+my)²+(mx-y)²]=√[(m²+1)(x²+y²)]
因为|2|=2|z|，所以√[(m²+1)(x²+y²)]=2√(x²+y²)，整理得m²=3，所以m=√3. m>0

w=x+√3y+(√3x-y)i 所以x+√3y=x'，√3x-y=y'

解得x=(x'+√3y')/4，y=(√3x'-y‘)/4.
代入x²+y²-4x=0得(x')²+(y')²-4(x'+√3y')=0，即x²+y²-4(x+√3y)=0.

第二问：
设存在这样一条直线L, y=kx+b ( k趋于无穷时与y轴平行)
则:w对应的点为(x+√3y,√3x-y)
(x根3-y)=k(x+y根3)+b

y=kx+b代入上式:
(x根3-kx-b)=k(x+kx根3+b根3)+b
x根3-kx-b=kx+k^2根3x+kb根3+b
x(根3-k-k-k^2根3)=b+kb根3+b....................3
x=-(2b+kb根3)/(k^2根3+2k-根3).................1
y=-k(2b+kb根3)/(k^2根3+2k-根3)+b..............2

1,2式表示,k^2根3+2k-根3不为零时,(x,y)是一个点,不是直线.
因此:只有当(k^2根3+2k-根3)=0时,才有可能是一条直线
即:3k^2+2根3k-3=0
(3k-根3)(k+根3)=0
k=根3/3 or k=-根3

此时,再由3式,可得:
x*0=b+kb根3+b=b(2+k根3)
由于k=根3/3 or k=-根3 时,2+k根3不为0,因此b(2+k根3)=0时,
b=0
因此,y=根3/3x or y=-根3x 为所求.

此时:z(x,y) M(x+√3y,√3x-y)都在直线上.

Answer 5

w=(1+mi)(x-yi)=x'+y'i
x'=x+my y'=mx-y
x=(x'+my')/(1+m²)
y=(mx'-y')/(1+m²)

Answer 6

w等于什么？
解：（1）由题设，知|W|=|z0*z|=|z0|*|z|=2|z|∴ |z0|=2，于是由1＋m2=4，且m>0，得m=√3.因此由x'+y'=(1-√3ι)*（x+yι）=((1+√3ι)（x-yι）=((x+√3y)+( √3x-y)ι得关系式方程x’=x+√3y,y’=√3x-y(2)由题意，有方程x+√3y=√3，√3x-y=2解得方程x=(3/4)√3,y=1/4既P点的坐标为（(3/4)√3, 1/4）（3）∵ 直线y=kx上的任意点P（x，y），其经变换后的点Q仍在直线上.Q(x+√3y, √3x-y) 仍在直线上,∴√3x-y=k(x+√3y),既(√3k+1)y=(√3-k)x∵ 当k=0时，y=0，y=√3x 不是同一条直线，∴ k≠0，于是((√3k+1)/1=(√3-k)/k,既√3k^2+2k-√3=0解得k=√3/3或k=-√3参考资料：iask.sina.com.cn/b/3370892.html

追问

不是一个题

Answer 7

(1)w的轨迹是圆x'^2+y'^2-4x'-4根号(3)y'=0
(2)题意没有完全理解。
是指是否存在这样的直线l，使得只要z在l上，对应的w也在l上，
还是指当z的轨迹是l时，w的轨迹也是l？

追问

z的对应点在l上，w对应点也在l上，同时满足。。。。其实我也不大懂

追答

希望你能将原题完整、无误的上传，实在不行，上图也可。

追问

追答

我仔细想了下，应该这样理解。
设直线l的解析式为ax+by+c=0
由于z对应点(x,y)=((x'+√3y')/4,(√3x'-y‘)/4)在直线l上
所以a(x'+√3y')/4+b(√3x'-y‘)/4+c=0
即(a+√3b)/4*x'+(√3a-b)/4*y'+c=0
而w对应点(x',y')也在直线l上，即ax'+by'+c=0
所以(a+√3b)/4=a且(√3a-b)/4=b
即b=√3a且5b=√3a
推出a=b=0,从而c=0，这不可能
故不存在这样的直线l