PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1 ，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB

Question

PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1 ，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB 的中点，点E在边BC上移动 （Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面 PAC的位置关系,并说明理由；（Ⅱ）证明： 无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；（Ⅲ ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45º

Answer 1

首先这个图画得不成比例，影响直觉判断。上过程：
1）EF／／平面PAC。证明：因为点F是PB 的中点，点E为BC的中点，所以EF是三角形BPC的中位线路，所以EF／／PC，又因为EF不再平面PAC内，所以EF／／平面PAC。
2）因为PA垂直平面ABCD、ABCD是矩形，所以BC垂直PA、BC垂直AB，又因为PA与AB相交于A，所以BC垂直PA、AB所在的平面PAB，所以BC垂直平面PAB内的直线AF。
又因为PA⊥平面ABCD，PA=AB，所以三角形PAB是等腰直角三角形，而点F是PB 的中点，所以AF垂直PB（等腰三角形底边的中线和垂直平分线重合）。
所以直线AF既垂直BC又垂直PB，且BC与PB相交于B，所以直线AF垂直BC、PB所在的平面PBC，而无论点E在边BC的何处，PE都属于平面PBC，所以直线AF垂直PE。
3）连接DE，作AG垂直DE，连接PG、AE，则角PGA就是二面角P-DE-A。显然三角形PAG是直角三角形。
若要角PGA＝45度，则要求三角形PAG是等腰直角三角形，即PA＝AG＝1。
因为PD与平面ABCD所成角就是角PDA＝30°，所以AD/PA＝cot30°，AD＝BC＝根号3。
显然三角形ADE面积＝DE*AG/2＝矩形ABCD面积的一半＝AB*AD/2＝（根号3）/2，解得DE＝根号3。
在直角三角形EDC内，DE＝根号3，DC＝AB＝1，所以CE^2＝（根号3）^2-1^2=2，CE=根号2，从而BE＝BC-CE＝（根号3）-（根号2）

Answer 2