已知函数f(x)=log2(2^x+1)

Question

已知函数f(x)=log2(2^x+1)
(1)求证:函数f(x)在(-∞,+∞)内单调递增
(2)记f-1(x)为函数f(x)的反函数。若关于x的方程f-1(x)=m+f(x)在[1，2]上有解，求m的取值范围

Answer 1

解(1):设U=(2^x+1),而f(x)=log2(U),因为函数 U=(2^x+1)在(-∞,+∞)内单调递增,且函数f(x)=log2(U)也是在U的定义区域内单调递增,则综合一下函数f(x)=log2(2^x+1)在(-∞,+∞)单调递增
(2):将原来的函数式y=log2(2^x+1)的x,y对调可得x=log2(2^y+1),化简得y=log2(2^x-1)即原函数的反函数f-1(x)=log2(2^x-1),同(1)理可得这个函数也是单调递增的函数.
化简原来的方程可以得到f-1(x)-f(x)=m,即log2[(2^x-1)/(2^x+1)]=m,而(2^x-1)/(2^x+1)=1-[2/(2^x+1)],则m=1-[2/(2^x+1)],
易得出m是个单调递增的函数,所以f-1(1)-f(1)=log2(1/3),
f-1(2)-f(2)=log2(3/5),因为1<=x<=2,所以log2(1/3)<=m<=log2(3/5)
即m的取值范围在[log2(1/3),log2(3/5)].

Answer 2

详细过程请参考

Answer 3

(1)证： 设x1<x2 f(x1)-f(x2)=log2(2^x1+1)-log2(2^x2+1)
=log2[(2^x1+1)/(2^x2+1)]
<log2[(2^x2+1)/(2^x2+1)]
=log2(1)=0
所以f(x1)<f(x2),得证
(2)解：y=log2(2^x+1) 2^x+1=2^y x=log2(2^y-1)
所以f-1(x)=log2(2^x-1)
由题可知：log2(2^x-1)=m+log2(2^x+1)
令g(x)=m+log2(2^x+1)-log2(2^x-1)
因为g(x)=0在[1,2]上有解,所以g(1)*g(2)<=0
代入得：(log23+m)(log25+m-log23)<=0
(log23+m)[log2(5/3)+m]<=0
解得log2(1/3)<=m<=log2(3/5)

Answer 4

(1)证： 设x1<x2 f(x1)-f(x2)=log2(2^x1+1)-log2(2^x2+1)
=log2[(2^x1+1)/(2^x2+1)]
<log2[(2^x2+1)/(2^x2+1)]
=log2(1)=0
所以f(x1)<f(x2),得证
(2)解：y=log2(2^x+1) 2^x+1=2^y x=log2(2^y-1)
所以f-1(x)=log2(2^x-1)
由题可知：log2(2^x-1)=m+log2(2^x+1)
令g(x)=m+log2(2^x+1)-log2(2^x-1)
因为g(x)=0在[1,2]上有解,
且g(x)为单调递减函数，
所以g(1)*g(2)<=0
代入得：(log23+m)(log25+m-log23)<=0
(log23+m)[log2(5/3)+m]<=0
解得log2(1/3)<=m<=log2(3/5)

Answer 5

(1).由题目易知:2^x+1>0恒成立,底数为2
所以f(x)为增函数.
(2).f(x)=y=log2(2^x+1) , 所以2^y=2^x+1 2^x=2^y-1
所以x=log2(2^y-1) 即f-1(x)=log2(2^x-1)
由原函数可知其值域为f(x)>0,所以反函数的定义域为x>0