求函数y=3∧-x²+2x+3的定义域、值域和单调区间。

Question

求函数y=3∧-x²+2x+3的定义域、值域和单调区间。

Answer 1

解前分析：
y=3^(-x²+2x+3) 是符合函数，
首先它是幂函数，其指数为二次函数。

对于该幂函数，形如y = a的x次方，
底数3 > 1，属增函数，

但其指数 (-x²+2x+3) 有增减性，
所以该幂函数也 有增减性。

再看指数，分析二次函数的单调区间：

-x²+2x+3
=-(x²-2x+1)+4
=-(x-1)²+4

∵ -x²+2x+3在(--∞，1]为增函数，在[1，+∞)为减函数，

∴ 对于复合函数y=3^(-x²+2x+3) ，
当x在(--∞，1]为增函数，在[1，+∞)为减函数。

体会： 对于复合函数，
若本身是增函数，则指数增时它也增，指数减时它也减。
若本身是减函数，则指数增时它就减，指数减时它就增。

解：
∵ 自变量x 既不在分母上也不在根号下
∴复合函数y=3^(-x²+2x+3) 的定义域为R。

y = 3^(-x²+2x+3)
= 3^[-(x²-2x+1)+4]
= 3^[-(x-1)²+4]
≤ 3^4 = 81(底数为3，是增函数)
∴ 值域为:(0，81]

y = 3^(-x²+2x+3)
= 3^[-(x-1)²+4]

∵ -(x-1)²+4 在(--∞，1]为增函数，在[1，+∞)为减函数，
∴ y = 3^(-x²+2x+3) 在(--∞，1]单调递增，在[1，+∞)单调递减。
∴ y = 3^(-x²+2x+3)单调递增区间是(-∞，1]；单调递减区间是[1，+∞)。

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