高中数学必修五 等比数列前n项和 求和问题。

Question

求讲解。

Answer 1

（1）一个等比一个等差：等差的和是确定的=n(n+1)/2，而等比数列需要分情况：
当a=1时，和=n；当a≠1时，根据等比的求和公式，和=a(1-a^n)/(1-a)；
所以原数列的和也分两种情况：
当a=1时，和=n-n(n+1)/2=n(1-n)/2；
当a≠1时，和=a(1-a^n)/(1-a)-n(n+1)/2；
（2）一个等比一个等差：
等差的和=n(2+2n)/2=n(n+1)；等比的和=3[1-5^(-n)]/5(1-1/5)=3[1-5^(-n)]/4，
所以原数列的和=n(n+1)-3[1-5^(-n)]/4；
（3）要分类讨论：
当x=0时，和=1；
当x=1时，和=n(n+1)/2；
当x≠0或1时，用错位相消法（等差乘等比或等差除等比的固定做法，一定要掌握）：
设和为Sn，
Sn=1+2x+3x^2+... ............+(n-1)x^(n-2)+nx^2(n-1)，①，对该式两边同乘等比数列的公比
xSn=x+2x^2+.......................................(n-1)x^(n-1)+nx^n，②
①-②得：(1-x)Sn=1+[x+x^2+.....+x^(n-1)]-nx^n
=1+(x^n-x)/(x-1)-nx^n
所以Sn=(1-nx^n)/*(1-x)-(x^n-x)/(1-x)^2
如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

Answer 2

1. 分组求和：原式=(a+a2+…+an) - (1+2+…+n) =(a+a2+…+an) - n(1+n)/2
(a+a2+…+an)求和要分情况讨论：a=1 和 a≠1（再用等比数列求和公式求和）

2. 还是分组求和：原式= 2(1+2+…+n) - 3（……）（再用等差，等比数列求和公式求和）

3. 错位相减法
S=1+2X+3X2+……+nX（n-1）
(1)当X≠0,X≠1时，上式两边同时乘以X，得
X*S=X+2X^2+3X^3+……+nX^n
S-X*S
=1+2X+3X^2+……+nX^（n-1）-X-2X^2-3X^3-……-nX^n
=1+X+X^2+X^3+……+X^（n-1）-nX^n
=(1-X^n)/(1-X)-nX^n
S=[(1-X^n)/(1-X)-nX^n]/(1-X)
(2)当当X≠0,X=1时
S=1+2X+3X^2+……+nX^（n-1）
=1+2+3+……+n
=[（1+n）/2]*n
=n（1+ n）/2
（3）当X=0,时
S=1+2X+3X2+……+nX（n-1）
=1

Answer 3

(1) 原式=(a+a^2+...+a^n)-(1+2+...+n)
=a(1-a^n)/(1-a)-n(n+1)/2
(2) 原式=(2+4+...+2n)-3*(5^-1+5^-2+...+5^-n)
=n(2n+2)/2-3/5*(1-5^(-n))/(1-1/5)
=n(n+1)-3[1-5^(-n)]/4
(3) 设原式=f(x)
xf(x)=x+2x^2+3x^3+...+nx^n
f(x)-xf(x)=1+x+x^2+...+x^(n-1)-nx^n
=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
f(x)=(1-x^n)/(1-x)^2-(nx^n)/(1-x)

Answer 4

1：原式=a+a²+……+a^n-(1+2+3+……n)
=a(1-a^n)/(1-a)-(1+n)n/2
2：原式=（2+4+……+2n）-3*（5^-1+5^-2+……5^-n)
3：原式=（x+x²+……+x^n)'=[x(1-x^n)/(1-x)]'

Answer 5

Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=[n(A1+An)]/2
原式=（a+a^2+……+a^n)-(1+2+……+n)=a(1-a^n)/(1-a)-[n(1+n）]/2
原式=-2(1-2^n)+12/5[1-(1/5)^n]

Answer 6

(1)可以列项求和，原式可以写成a+a2+a3+.......+an+1+2+....n