求数学帝啊！！！ 急急！！！ 若直角三角形的一条直线和斜边之和为常数C,求斜边取合值时三角形的面积最大

Question

要详细过程 好的加50分

Answer 1

设直角边长b，斜边长c，则
b+c=C
面积为sqrt(c*c-b*b)*b/2
为使之最大，即为使得
(c*c-b*b)*b^2
最大
即
((C-b)(C-b)-b*b)b^2
=C^2b^2-2Cb^3
对b求导可得
2C^2b-6Cb^2=0
b=C/3
所以，斜边长2C/3

Answer 2

解：
设直角三角形三边为a ,b, x，x为斜边；
b+x = C ==> b = C - x；a = √[x² - (C-x)²] = √(2C*x - C²)
三角形面积设为S，则
S² = (1/2*a*b)² = 1/4 *(2C*x - C²)(C - x)²
= C(2x-C)(C-x)²
当S² 取得最大值时，S取得最大值；令f(x) = C(2x-C)(C-x)²
f'(x) = 2C(x-C)(3x-2C)
因为 x 取值范围是 0<x<C，f'(x)=0 ==> x=2C/3 ；
在0<x<c范围内，x=2C/3 是极大值点，也是最大值点；
因此：当 斜边长为 2C/3时，三角形面积最大。

Answer 3

直角三角形3边, x, (y^2-x^2)^0.5, y 斜边
x+y=C
S=1/2x(y^2-x^2)^0.5=1/2x (C^2-2Cx)^0.5
S'=1/2 (C^2-3Cx)/(C^2-2Cx)^0.5=0, x=C/3
Smax=1/2*C/3*C/3^0.5=3^0.5/18C^2

Answer 4

确实是2C/3