如图，抛物线y=－x +4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C. (1)求直线BC的解析式；(2)点P为抛物

Question

如图，抛物线y=－x +4x+5交x轴于A、B（以A左B右)两点，交y轴于点C. (1)求直线BC的解析式；(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)在(2)的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标.

Answer 1

(1) y=    (2) S=    (3)存在，P(2,9)或P(3,8)

试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再令x=0求出点C的坐标，设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF，再根据S △ PBC =S △ PCF +S △ PBF 整理即可得解； （3）设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG∥PH，然后判断出△AGE和△AHP相似，根据相似三角形对应边成比例可表示出EG、HG，然后表示出BG，根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标，即可得解． 试题解析：（1）当y=0时，x 1 =5，x 2 =－1， ∵A左B右， ∴A(-1，0),B(5，O) 当x=0时，y=5， ∴C（0,5）， 设直线BC解析式为y=kx+b, ∴ ∴ ∴直线BC解析式为:y= ； (2)作PH⊥x轴于H，交BC于点F， P(m，-m 2 +4m+5)，F(m,-m+5) PF=-m 2 +5m ， S △ PBC =S △ PCF +S △ PBF S= ∴S= ； (3)存在点P， 作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H， ∴EG∥PH， ∴△AGE∽△AHP， ∴ ， ∵P(m，-m 2 +4m+5)， EG= ， AH=m-(-1)=m+1，   GH= ， HB="5-m" ，GB= ， ∵OC=OB=5， ∴∠OCB=∠OBC=45°， ∴EG=BG， ∴ = ， ∴m 1 =2     m 2 =3， 当m=2时，P(2,9)， 当m=3时，P(3,8)， ∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．