连续函数在某点的一阶导数在该点不一定连续？

Question

f（x）=(1/x)sin（x^2） x≠0
0 x=0
在零处导数极限为-1，实际求出导数值为1，不连续，可是一个连续函数的曲线是平滑的，导数变化为何不连续？？？
一个连续函数的曲线是平滑的，改为连续可导的函数

Answer 1

首先，这个函数在0点连续但不可导（导函数的左右极限不存在），即这函数不是平滑的，不是连续可导的。
再次，对于f（x）=(1/x)sin（x^2）这个函数在0点没定义，是不连续的，所以一定不可导。
再再次，f（x）在0点的左右极限都是0，所以如果人为定义f（0）=0的话，该函数则是连续的。
然后，我们看增加定义后的函数在0点的导数，用导数定义证明可知，导函数左右极限不相等，左极限是-1，右极限是1。所以导数不存在。
最后可以看看这个函数的图形，类似于f=-x(x<0),f=x(x>0),x=0时没有定义。现在我们强行定义x=0时，f=0，所以就有了以上结论。。。

Answer 2

连续函数并非一定是光滑的。

譬如，一条拆线，它是连续的，但在转折那个点，它的一阶导数是不连续的。同时，这点也是不光滑的。

曲线的光滑性比连续性，要求要高得多。
一般，无限多次可导，才能称为“光滑”

追问

抱歉我没讲清楚，应该是在导数存在的前提下，按照定义，折线在转折点是没有导数的，因为左右极限不相等，而以上例子导数存在的

追答

我只是举一个连续函数并不光滑的例子。
因为你的疑惑正是在于此。

哦，你可以把那个函数的导数，作为一个新的函数来研究这个问题。

这个新函数在0这一点本来按极限的方法来看，本来是可以连续的，函数值为－1。但是，现在人为地把这一点拿出来，硬定义它的函数值为+1，这才造成了函数的不连续。

追问

人为地定义？函数的导数不都是根据定义求出的吗？再说新函数在零处是没有定义的，可以规定为任意值，也就是说脱离前面的问题来谈这个不太好吧

追答

我这个说法，是相信了你所说的“在零处导数极限为-1，实际求出导数值为1”，你这个说法是否正确？我没有验证啊。

追问

呵呵，你可以验证下嘛，这个例子肯定是存在的，以前学数学分析的时候我思考了很长时间，如果验证不对，那说明我把例子记错了

追答

我验证了一下，原来你的说法错了。在0这一点的导数是存在的，且连续。我截一张图给你看

如果确实存在你说的那类情况，就只能是被人为地扣掉一个点来重新定义。