设数列an的前项和为Sn已知Sn=2an-2^(n+1)求证数列为等差数列an

Question

设bn=log以an/(n+1)为底 2的对数,数列{bn}的前n项和为Bn，若存在整数m，对任意n属于正整数且n>=2,都有B3n-Bn>m/20成立，求m的最大值 拜托了，在线等

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中给出的设数列{an}的前n项和为Sn便可求出数列{an/2^n}是公差为1的等差数列，将a1=4代入便可求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先求出数列bn的通项公式，然后求写前n项和Bn的表达式，进而求出的B3n-Bn表达式，然后证明B3n-Bn为递增数列，即当n=2时，B3n-Bn最小，便可求出m的最大值．

解答：解：
（Ⅰ）由Sn=2an-2^(n+1)，得S(n-1)=2(an-1)-2^n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2a(n-1)-2^n，即an-2a(n-1)=2^n（n≥2）．
于是an/2^n - a(n-1)/2^(n-1)=1，所以数列{an/2^n}是公差为1的等差数列．
又S1=a1=2a1-2^2，，所以a1=4．
所以an/2n=2+（n-1）=n+1，故an=（n+1）•2^n．
（注：该问也可用归纳，猜想，数学归纳法证明的方法）

（Ⅱ）因为bn=log an/(n+1)^2=log 2n^2=1/n，则B3n-Bn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/3n．
令f（n）=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/3n，
则f（n+1）=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/3n+1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)．
所以f（n+1）-f（n）=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-1/(n+1)=1/(3n+1)+1/(3n+2)-2/(3n+3)＞1/(3n+3)+1/(3n+3)-2/(3n+3)=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=1/3+1/4+1/5+1/6=19/20．
据题意，m/20＜19/20，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．

Answer 2

S1＝2a1-2^2=a1,a1=4,an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)-2^n,an=2a(n-1)+2^n,
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1,{an/2^n}为等差数列，公差为1
an/2^n=n+1,所以an=(n+1)2^n, 从而bn=1/n，B3n-Bn=1/(n+1) +1/(n+2)+...+1/3n随n的增大而增大，B3n-Bn>=1/3+1/4+1/5+1/6=19/20>m/20 m最大值为18