高中 数学三角函数 题目一道 角形ABC中，SIN A+SIN B=SINC(COSA+COSB) .判断三角形ABC的形状

Question

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Answer 1

在△ABC中，由正玄定理 SIN A+SIN B=SINC(COSA+COSB) 可化为
a+b=c（COSA+COSB）
又由余弦定理 c（COSA+COSB）=c[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]
(通分，化简) =(ab^2+ac^2-a^3+ba^2+bc^2-b^3)/(2ab)
(再化简) =(a+b)(c^2+2ab-a^2-b^2)/(2ab)
所以，即就是 a+b=c（COSA+COSB)=(a+b)(c^2+2ab-a^2-b^2)/(2ab)
约去a+b 得到 c^2+2ab-a^2-b^2=2ab
所以 c^2=a^2+b^2
所以△ABC是直角三角形

Answer 2

C=180 - (A + B)
所以 sinC = sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB

代入原式 并展开，将 cosA和cosB的平方全部转化成 1-Sin平方的形式。
最终能使等号两边消去sinA + sinB（三角形中不可能为0）
消去之后的化简结果 CosA CosB - sinA sinB = 0
即 cos（A+B）= 0，三角形范围内，A+B = 90，直角三角形。

Answer 3

直角三角形
因为A+B=π-C，所以(A+B)/2=π/2-C/2
而根据和差化积公式，有
sinA+sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
cosA+cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
所以代入有2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] =sinC*2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]
两边消去 2cos[(A-B)/2] ，得到
sin[(A+B)/2] =sinC cos[(A+B)/2]
sin(π/2-C/2)=2sin(C/2)cos(C/2)cos[π/2-C/2]
化简得到
cos(C/2)=2sin(C/2)cos(C/2)sin(C/2)
2（sin(C/2))^2=1
（sin(C/2))^2=1/2
sin(C/2)=根号（1/2）
所以C/2=45度或135度
C=90度（后者超出范围）