不定积分求解后面一定要加C么

Question

如题，第一道题后面用方程求解就没加c，然后第二题加C了，是不是说相同的不定积分相减为一个常数C呢，这样的话那第一道题后面应当是要有C的哇，可是又没有。。。求扫盲

Answer 1

不定积分最后的答案中，肯定要加C。

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′= f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

根据牛顿－莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间［a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

因为常数的求导是0。最简单的例子x+a和x+b的导数都是1，其中a和b为不相等的任意两个常数。在不定积分后，我们得到的是x+c，c为任意常数，这个常数也就涵盖了之前可能出现的a和b。

举个例子：∫1/x dx，无法求出从0开始的定积分，但我们可以求出1到2的定积分。0到2和0到1的定积分都是一个我们不知道的确定的值，因此我们在ln(x+1)后再加上一个C，无论C为何值，在求定积分的时候都可以抵消，这样就达到了求没有不定积分的定积分的目的。

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 3

虽然图片看不清楚，但是可以明确告诉你，不定积分最后的答案中，肯定是要加C的。首先关于不定积分的概念：函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分。反过来理解，就是原函数的导数是等于f(x)的，那么在原函数中的常数C经过求导后是变为0的。你从字面意思理解不定积分，为何不定？跟定积分的本质区别是什么？定积分给定了变量的上下限，是可以求的定植的，常数C可以从字面上解释不定的涵义。谢谢，希望采纳！

追问

积分的符号我用|来表示哈，就是这个题：求|(e^ax)(sinbx)dx
|(e^ax)(sinbx)dx=(1/a)(e^ax)(sinbx)-(b/a)|(e^ax)(cosbx)dx
=1/a{(e^ax)sinbx-b[(1/a)(e^ax)cosbx+(b/a)|(e^ax)(sinbx)dx]}
既有方程：(1+b^2/a^2)|(e^ax)(sinbx)dx=e^ax[(1/a)sinbx-(b/a^2)cosbx]
即： |(e^ax)(sinbx)dx=[(e^ax)(asinbx-bcosbx)]/(a^2+b^2)
做法应该是没问题的吧，你看嘛，想加C都加不进。。。所以这到底是怎么回事？

追答

因为任意可积函数的不定积分结果有无穷个解，这些解之间相差一个常数项，所以加一个常数C其实表示的是不定积分的解集，所以会有一种情况，你求出来的不定积分有个特殊的值是C=0，我之前回答的情况是普遍情况。

追问

既然不定积分结果是无穷个解，那就是说C是代表任意常数的集合项(0 1 2 ...)怎么可以说是确定的值呢。那C=0应该只是这个不定积分结果的无穷个解中的一个呀，而且既然有|f(x)dx=F(x)+0 这种特殊情况，那是不是说也可以有 |f(x)dx=F(x)+1或者加2等等的特殊情况，那这个C到底是一个常数的集合还是固定的数哦。。

Answer 4

1. 第一题答案是忘记加上任意常数C了。
在计算不定积分时，总是先求一个原函数，最后加上常数C.
2. | (e^ax)(sinbx)dx
= 1/a{(e^ax)sinbx-b[(1/a)(e^ax)cosbx+(b/a)|(e^ax)(sinbx)dx]} + C1
你可以在最后加上常数C1，表明式中有不定积分。
求解之后，把常数 ( )*C1 记作C。
3. | (e^ax)(sinbx)dx ， 以及 | (e^ax)(cosbx)dx
这两个积分用两次分部积分做比较麻烦，如果设原函数形式为
F(x) = (e^ax)【A sinbx + B cosbx 】, 求导之后，与被积函数来比较，确定A、B，
结果正确，但简单多了。

追问

您说的第二点，等式里还有不定积分存在不就代表有c吗，那多加一个c1错是没错但是感觉很牵强啊，感觉好像是为了让答案要有C才没办法只能在这一步加的。。。第3点的那个方法木有看懂。。
设原函数形式为
F(x) = (e^ax)【A sinbx + B cosbx 】, 但是我求出来是F（x)=[(e^ax)(asinbx-bcosbx)]/(a^2+b^2)，形式好像不一样呢

追答

例如 ∫ (x+1) dx =(x+1)^2 /2+ C
I = ∫ (x+1) dx = ∫ [ 2(x+1) - (x+1) ] dx = (x+1)^2 - I @
=> I = (x+1)^2 /2 + C @@
在@ 中不用加， 在@@中最后加上C 即可。
二者比较： A = a/ (a^2+b^2， B= - b/(a^2+b^2）
你可以用此法试试 ∫ (e^ax)(cosbx) dx