已知函数f(x)对任意的实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且f(1)=1，求函数解析式

Question

已知函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且f(1)=1,求f(x)的解析式
一个最佳答案 f(0)=f(1-1)=f(1)+2×1×(1+1)=5,
f(y)=f(0+y)=f(0)+2y(0+y)=5+2y²
得：f(x)=2x²+5.
第二个最佳答案 f(x+1)=f(x)+2(x+1)
f(0+1)=f(0)+2(0+1)=f(0)+2=1
f(0)=-1
f(x)=f(0+x)=f(0)+2x(0+x)=-1+2x*x
第三个最佳答案 令x=1，y=-1，代入：

f(0)=f(1)=1;

令y=1，代入原式：

f(x+1)=f(x)+2(x+1)（需要注意的是x=0时，这个式子不成立）
移项后：
f(x+1)-f(x)=2x+2

这个显然是个递推式，下面用n代替x进行演绎：
显然
f(2)-f(1)=2*1+2
f(3)-f(2)=2*2+2
…………………
f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+2

以上等式分别相加起来

f(n)-f(1)=2*[(n-1)+(n-2)+……+1]+2*(n-1)

将f(1)=1代入，得：

f(n)=n^2+n-1（这里你验算一下，不知道有没有算错）

将n换成x，则得到分段函数：

f(x)=x^2+x-1(x>0)
f(0)=1（x=0）

嗯……自己再按上述思路求负数部分，这里不再述说（别太懒哈）。
第四个最佳答案 令x=1:
f(1+y)=f(1)+2y(1+y)=1+2y(1+y)=2y^2+2y+1
令t=1+y ---> y=t-1
f(t)=2y^2+2y+1=2(t-1)^2+2(t-1)+1

资料的答案是
算得f(0)=-1,再令x=0,y=x,得f(x)=f(0)+2x+(0+x)=-1+2x^2,即f(x)=2x^2-1
我自己算的好像是2x-1
不明白哪里错了，望高手们给我一个满意的答案

Answer 1

令x=0，则有f(x+y)=f(y)。
又因为f(x+y)=f(x)+2y(x+y)，
所以f(y)=f(0)+2y●y
令x=1，y=－1，
根据f(x+y)=f(x)+2y(x+y)，
得f(0)=f(1)=1
所以f(y)=1+2y●y
再把y换成x
所以f(x)=1+2x●x

追问

怎么把1代进去是等于3？？

追答

可能还是题目有问题

Answer 2

ghfdhy

Answer 3

1

Answer 4

题目写错了吧 f(1）=f(0+1)=f(0)+2*1*(0+1) →f(0)=-1 但是f(1+ (-1))=f(0)=f(1)+2*(-1)*(1-1)→ f(0)=f(1)=1 前后矛盾啊。。。。
楼上的 你把x=1带进去 看看 你求出来的f(1)=3.。。。。

追问

我觉得应该是。。。

Answer 5

令x=1，y=-1，代入：

f(0)=f(1)=1;

令y=1，代入原式：

f(x+1)=f(x)+2(x+1)（需要注意的是x=0时，这个式子不成立）
移项后：
f(x+1)-f(x)=2x+2

这个显然是个递推式，下面用n代替x进行演绎：
显然
f(2)-f(1)=2*1+2
f(3)-f(2)=2*2+2
…………………
f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+2

以上等式分别相加起来

f(n)-f(1)=2*[(n-1)+(n-2)+……+1]+2*(n-1)

将f(1)=1代入，得：

f(n)=n^2+n-1
即f(x)=x^2+x-1

追问

那个。。。把0代进去，怎么是等于-1而不是1？