等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD,角ABC=60°，E是BC中点，将三角形ABE沿AE折起，使二面角B-AE-C成直二面角

Question

连接BC,BD,F是CD得中点，P是棱BC的中点。求证：AE垂直BD;平面PEF垂直平面AECD

Answer 1

如图l，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B-AE-C成直二面角，连接BC，BD，P是棱BC的中点．
（1）在图2中求证：AE⊥BD；’
（2）EP是否平行平面BAD？并说明理由．
（3）求直线EB与平面BCD所成的角的余弦值．
考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．
专题：综合题．
分析：（1）连接BD，取AE中点M，连接BM，DM，根据题意可得BM⊥AE，DM⊥AE，从而可知AE⊥平面BDM，故可得AE⊥BD
（2）EP与平面BAD不平行．取BE的中点F，连接PF，可证PF∥平面BAD，若EP∥平面BAD，所以平面BEC∥平面BAD，这与平面BAD∩平面BEC=B矛盾
（3）以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB为x，y，z，设AE=2，则E（1，0，0），B（0，0,3 ），D（0， 3 ，0），C（2，3 ，0），故
EB＝(−1，0，3)，
DC＝(2，0，0)，

BD ＝(0， 3 ，− 3 )，可求平面BCD的法向量，从而可求直线EB与平面BCD所成的角的余弦值．

解答：（1）证明：连接BD，取AE中点M，连接BM，DM．
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点
∴△ABE与△ADE都是等边三角形
∵M是AE的中点，
∴BM⊥AE，DM⊥AE
∵BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM
∴AE⊥平面BDM
∵BD⊂平面BDM
∴AE⊥BD；
（2）解：EP与平面BAD不平行．
取BE的中点F，连接PF
∵P是棱BC的中点
∴PF∥CE
∵AD∥CE
∴PF∥AD
∵PF⊄平面BAD，AD⊂平面BAD
∴PF∥平面BAD
若EP∥平面BAD
∵FP∩EP=P
∴平面BEC∥平面BAD
这与平面BAD∩平面BEC=B矛盾
∴EP与平面BAD不平行．
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Answer 2

由平面几何看出：ABE是等边三角形，AECD是菱形。取AE中点M，CM与EF相交于N。（1）易知BM垂直AF,DM垂直AF,故AF垂直平面BMD，AF垂直BD（2）易知CEMF是平行四边形，故N为MC中点，进而PN//BM，又BM垂直AECD,故PN垂直AECD,再由PN属于PEF推知命题成立

追问

DM垂直AF是不是因为BM垂直AF,所以AF垂直于面BMD所以AF垂直DM啊

Answer 3

有图没有

追问

有但是画不出来

追答

画不出来？

追问

额是得，这个要怎么画啊